Beweis für eine allgemeine ganzzahlige Lösung der Gleichung 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑁 [Duplikat]

Dec 26 2020

Gegeben $a,b\in\mathbb{Z}-\{0\}$ und $N\in\mathbb{Z}$ist es leicht zu zeigen, dass wenn $x_0,y_0\in\mathbb{Z}$ sind eine besondere Lösung für $ax+by=N$, dann $x=x_0+\frac{b}{d}t$ und $y=y_0-\frac{a}{d}t$, wo $d=gcd(a,b)$ und $t\in\mathbb{Z}$, sind auch Lösung für $ax+by=N$.

Aber darf ich fragen, wie man beweist, dass sie tatsächlich die allgemeine Lösung dafür sind? $ax+by=N$ wenn wir die Lösungen im Inneren einschränken $\mathbb{Z}$? (dh alle ganzzahligen Lösungen wurden gezählt)

Vielen Dank!

Antworten

2 AmeetSharma Dec 26 2020 at 15:39

Sei A die Menge aller geordneten Paare ganzzahliger Lösungen. Sei B die Menge aller geordneten Paare ganzzahliger Lösungen nur der von Ihnen angegebenen Form. Wir wissen$B \subseteq A$

Finden Sie zuerst alle rationalen Lösungen für die Gleichung und beschränken Sie sie dann.

Lassen

$x=x_0+bu$

zum $u \in\mathbb{Q}$

Dies ist für u für jedes rationale x lösbar.

Und dann mit

$ax+by=N$

$a(x_0+bu)+by=N$

$y=\frac{N-a(x_0+bu)}{b}$

$y=\frac{by_0-abu}{b} = y_0-au$, was auch rational ist.

So kann jedes Element von A geschrieben werden als $(x_0+bu,y_0-au)$ für einige rationale u.

Also lass $(x_0+bu,y_0-au) \in A$

Wir benötigen

$bu \in \mathbb{Z}$

$au \in \mathbb{Z}$

schreiben $u=\frac{m}{n}$. Angenommen, dies ist in niedrigsten Begriffen

So

$\frac{bm}{n} \in \mathbb{Z}$

$\frac{am}{n} \in \mathbb{Z}$

So $n|b$ und $n|a$

Das bedeutet $n|d$ wo $d=gcd(a,b)$

Wir können schreiben $rn=d$ für eine ganze Zahl r

So $n = \frac{d}{r}$

$\frac{bm}{n} = \frac{b}{d}(rm)$

$\frac{am}{n} = \frac{a}{d}(rm)$

Also lassen $t=rm$, Wir wissen das $(x_0+\frac{b}{d}t,y_0-\frac{a}{d}t) \in B$

So $A \subseteq B$ geben uns $A=B$.