Beweisen Sie das allgemeine Euklid-Lemma in einer UFD mithilfe der Primfaktorisierung

Dec 05 2020

Ich habe viele Beweise für diesen Satz gesehen: In einer UFD wenn $(a,b)=1$ und $a|bc$ dann $a|c$. Sie verwenden meistens das gcd-Verteilungsgesetz, z . B. hier . Nun, ich wollte dies nur beweisen, indem ich mich auf die Eigenschaften der UFD stützte.

Mein Versuch: Seit $a|bc$ dann für einige $r$ wir haben $ar=bc$. Nun durch die Existenz, da wir wissen, dass jedes nicht einheitliche Element wie$a$ kann umgeschrieben werden als $t_1×....t_n$ wo $t_i$ sind irreduzibel, wir können dies tun:

$$p_1^{α_1}...p_n^{α_n} g_1^{ε_1}...g_m^{ε_m} =q_1^{β_1}...q_k^{β_k}h_1^{ψ_1}...h_i^{ψ_i}$$ (Wo $p_i$, $g_i$, $q_i$ und $h_i$sind Primzahlen.) Durch die Einzigartigkeit sollte die Menge, die rechts ist, auch links sein. Bin ich richtig? Aber seit$(a,b)=1$ dann $a$ und $b$sollte keine Hauptelemente teilen. Irgendwie ist es so$A$ ist eine Teilmenge von $C$. Ich kann das nicht wirklich schaffen, aber es wird zu einem Problem in der Mengenlehre.

Können Sie mir bitte bei meinem eigenen Ansatz helfen?

Antworten

4 paulblartmathcop Dec 05 2020 at 20:48

Du bist sehr nah. Lassen Sie uns auf diese Gleichung zurückblicken, die Sie angegeben haben: '

$$ p_1^{α_1}...p_n^{α_n} g_1^{ε_1}...g_m^{ε_m} =q_1^{β_1}...q_k^{β_k}h_1^{ψ_1}...h_i^{ψ_i} $$

korrespondierend zu $ar=bc$. Wie Sie sagten, ist die Menge der Primzahlen, die mit der Multiplizität gezählt wird, auf beiden Seiten gleich (bis zu Einheiten), da wir uns in einer UFD befinden. Darüber hinaus als$(a,b)=1$ dann nein $p_i$ kann sich teilen $b$. Noch einmal durch Einzigartigkeit bedeutet das, dass nein$p_i$ kann sich teilen $q_j$. In der Tat können wir weiter gehen und sagen, dass nein$p_i^{\alpha_i}$ kann sich teilen $q_j$. Alles zusammen$p_i^{\alpha_i}$muss in der Faktorisierung auf der rechten Seite erscheinen (bis zu Einheiten). Darüber hinaus ist die$p_i^{\alpha_i}$ kann das nicht teilen $q_j$. Somit ist bis zu Einheiten die$p_i^{\alpha_i}$ muss jeder etwas teilen $h_j^{\psi_j}$. Daher alle Hauptfaktoren von$a$ gezählt mit Multiplizitätsteilung $c$. Daher,$a \mid c$.

3 BillDubuque Dec 05 2020 at 23:26

Es hat einen natürlichen Beweis durch Induktion auf der Zahl $\:\!k\:\!$ von Primfaktoren von $\,a,\,$Verwenden von Euklids Lemma als induktiven Schritt (wenn eine Primzahl ein Produkt teilt, teilt sie einen Faktor). Wenn$\,k=0\,$ dann $\,a\,$ ist eine Einheit so $\,a\mid c.\,$ Sonst $\,a = p\bar a\,$ für eine Primzahl $\,p\,$ so $\,p\bar a\mid bc\,\Rightarrow\,p\mid b\,$ oder $\,p\mid c,\,$ so $\,\color{#c00}{p\mid c}\,$ durch $\,(p,b)=1\,$ durch $\,(p\bar a,b)=1$. Abbrechen$\,p\,$ von $\,p\bar a\mid bc\Rightarrow \bar a\mid b\,\color{#c00}{c/p},\,$ und $\,(\bar a,b)=1\,$ durch $\,(p\bar a,b)=1.\,$ Beachten $\,\bar a\,$hat weniger Primfaktoren als$\,a=p\bar a,\,$ so $\,\bar a\mid \color{#c00}{c/p}\underset{\textstyle\times\, p}\Rightarrow p\bar a\mid c\ $ (dh $\,a\mid c),\,$ durch Induktion.

Übung $ $Machen Sie alle impliziten Verwendungen der Existenz und Eindeutigkeit von Primfaktorisierungen, die im Beweis verwendet werden (notwendig, um vollständig streng zu sein), explizit .