Beweisen Sie, dass die Summe der Radien der Kreise

Question

$ABCD$ist ein zyklisches Viereck. Beweisen Sie, dass die Summe der Radien der Kreise innerhalb der Dreiecke gezeichnet ist$\Delta ABC$ und $\Delta CDA$ ist gleich der Summe der Radien der innerhalb der Dreiecke gezeichneten Kreise $\Delta BCD$, $\Delta DAB$.

Ich kam auf die Idee, dass ich das verwenden kann https://en.wikipedia.org/wiki/Japanese_theorem_for_cyclic_quadrilateralsum zu beweisen, dass der Abstand zwischen den Zentren gleich ist - sie bilden ein Rechteck -, aber ich kann es nicht lösen. Bitte helfen Sie.

Answer 1

Hinweis. Verwenden Sie Carnots Satz: Gegeben ein Dreieck$\Delta ABC$, Lassen $O$ bezeichnen sein Umkreiszentrum, $R$ sein Umkreis und $r$sein Inradius. Lassen$O_1,O_2,O_3$ außerdem die orthogonalen Projektionen von $O$ auf zu $BC, CA, AB$beziehungsweise. Wir haben dann$$OO_1+OO_2+OO_3=R+r$$ Hinweis: Das Segment $OO_i$ wird als negativ angesehen, wenn $OO_i$ liegt ganz draußen $\Delta ABC$und sonst positiv.

Hier,$\color{blue}{OO_2}$ wäre dabei negativ $\color{red}{OO_1, OO_3}$sind positiv. Der Einfachheit halber lassen Sie$AB=:c, BC=:a, CA=:b$. Beachte das$OO_3BO_1$ ist seitdem ein zyklisches Viereck $\angle BO_3O+\angle OO_1B=90^\circ+90^\circ=180^\circ$und daher können Sie den Satz von Ptolemäus verwenden, um daraus zu schließen $$\begin{align*}OB\cdot O_1O_3&=OO_3\cdot BO_1+O_3B\cdot OO_1\\\iff R\cdot \frac{b}2&=OO_3\cdot \frac{a}2+\frac{c}2\cdot OO_1\end{align*}$$Analog erhalten Sie \ begin {Fälle} R \ cdot a = OO_3 \ cdot b + OO_2 \ cdot c \\ R \ cdot b = OO_1 \ cdot c + OO_3 \ cdot a \\ R \ cdot c = OO_2 \ cdot a + OO_1 \ cdot b \ end {Fälle}

Addieren Sie diese und betrachten Sie die bekannte Gleichung $$r\cdot (a+b+c)=2\cdot [\Delta ABC]=OO_1\cdot a+OO_2\cdot b+OO_3\cdot c$$ (Verstehst du jetzt, warum es wichtig ist zu nehmen? $OO_2$negativ sein?). Der erste Teil ist nur eine Folge der Teilung$\Delta ABC$in drei Dreiecke mit dem Incenter als Scheitelpunkt. Der zweite Teil ist trivial. $$\begin{align*}R\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (b+c)+OO_2\cdot (c+a)+OO_3\cdot (a+b)\\ R\cdot (a+b+c)+r\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (a+b+c)+OO_2\cdot (a+b+c)+OO_3\cdot (a+b+c)\\\iff R+r&=OO_1+OO_2+OO_3\end{align*}$$

Zurück zu Ihrem Problem: Wenn wir dieses Juwel haben, ist es ziemlich einfach, es zu beenden :)

(Ich beziehe mich auf das Bild.) Beachten Sie, dass Sie Carnots Theorem zweimal verwenden, einmal für $\Delta ABD$ und wieder für $\Delta BCD$, wir erhalten $$R+r_1=OO_1+OO_5+OO_4\qquad \text{and}\qquad R+r_2=OO_2+OO_3+OO_5$$ Beachte das $OO_5$ ist negativ für $\Delta ABD$ und positiv für $\Delta BCD$. Wenn Sie also diese beiden Gleichungen addieren, erhalten Sie$$r_1+r_2=OO_1+OO_2+OO_3+OO_4-2R$$ Es ist leicht zu erkennen, dass dieser Ausdruck identisch ist, wenn auf verwiesen wird $r_3+r_4$.