Breit-Wigner-Formelableitung
Ich habe diese Herleitung der Breit-Wigner-Formel für Resonanz in der Teilchenphysik durchgearbeitet, kann die Schritte jedoch nicht mit meinen QM-Kenntnissen in Einklang bringen.
Der Ausgangszustand ist gegeben durch:
$$ \psi(t)=\psi(t=0)e^{-iE_0t}e^{-\frac{t}{2\tau}}$$
Hier stellt sich meine erste Frage:
- Wird die Positionsabhängigkeit vernachlässigt? Wenn ja warum?
Dann heißt es
$$\textrm{Prob}(\textrm{ find state } |\psi\rangle)\propto e^{-\frac{t}{\tau}} $$
- Den Staat finden $|\psi\rangle$wo? Zum Zeitpunkt$t$? Was bedeutet das?
Wir können dies nun in die Energiedomäne umwandeln, indem wir dies Fourier transformieren $\psi(t)$::
$$f(E)=\int_0^\infty \textrm{d}t\,\psi(t)e^{iEt}$$
und wir bekommen
$$f(E)= \dfrac{i\psi(0)}{(E_0-E)-\frac{i}{2\tau}}$$
- Warum ist dies eine Fourier-Transformation, wenn der Bereich bei beginnt? $0$ und nicht bei $-\infty$?
- Warum ist das gültig? Ich bin es gewohnt, von Position zu Impulsraum zu konvertieren, aber Zeit-Energie habe ich im QM noch nie gemacht.
- Was sind außerdem die Zeiteigenzustände? Für Position und Dynamik haben wir$|x\rangle$ und $|p\rangle$, aber für die Zeit?
Das Verfahren geht dann weiter und behauptet, dass die Wahrscheinlichkeit, den Zustand zu finden $|\psi\rangle$ mit Energie $E$ ist gegeben durch
$$|f(E)|^2=\dfrac{|\psi(0)|^2}{(E_0-E)^2+\frac{1}{4\tau^2}} $$
- Sollte es nicht sein $|f(E)|^2\textrm{d}E$?
Antworten
Ich fürchte, man boxt mit Ihrem unbekannten Text im Schattenboxen. Alle guten QM-Texte decken dies ab, aber man weiß nicht, womit Sie Probleme haben. Der Staat ist$$ \psi(t)=\psi(0)~e^{-iE_0t}e^{-\frac{t}{2\tau}},$$ Die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht verfallen ist, nimmt also monoton ab. $$ |\psi(t)|^2 / |\psi(0)|^2 = e^{-t/\tau}, $$das Standardgesetz des exponentiellen Zerfalls. Könnte sich mit der Anzahl solcher Partikel multiplizieren, um eine Massenüberlebenswahrscheinlichkeit zu erhalten, z. B. eines Stücks radioaktiven Materials.
(1,2) Jede denkbare Raumabhängigkeit wurde herausintegriert, da sie für den Zerfall irrelevant ist. Der Staat könnte überall und überall im Raum sein, und sein Zerfall würde nicht durch Raumüberlegungen beeinflusst werden - denken Sie daran, alle Raumintegrale im Voraus durchzuführen. Das Quadrat der Wellenfunktion ist also eine Existenzwahrscheinlichkeit im gesamten Universum dieses Zustands und keine Wahrscheinlichkeitsraumdichte. Beachten Sie, dass der Zustand ein Hamilton-Eigenzustand ist , der Eigenwert jedoch nicht real ist.$E_0-i/2\tau$, weil der Hamiltonianer kein Einsiedler ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand als Bruchteil einer Anfangswahrscheinlichkeit von 1 existiert, wenn Sie mit der Zeitmessung beginnen, nimmt somit zur unendlichen Zeit bis auf 0 ab.
(3) Ihr Zeitbereich ist dann [0,$\infty$), und das ist es, worüber Sie integrieren, sodass Sie nur eine halbe Fourier-Transformation durchführen, da die vollständige Fourier-Transformation Sie auf einen unendlichen Wert zurückführen würde (duh!) und Sie nur die Überlebenswahrscheinlichkeit relativ zu einem Start überwachen möchten Zeit 0.
(4) Gültig? es ist eine formelle Operation:$$f(E)=\int_0^\infty \textrm{d}t\,\psi(t)e^{iEt} = \dfrac{i\psi(0)}{(E-E_0)+\frac{i}{2\tau}} ~,$$Sie erhalten eine spektrale Zerlegung Ihres Zustands und sind nützlich für die nicht genannten Anwendungen Ihres Textes. Es ist im Wesentlichen der Propagator des fraglichen instabilen Zustands , der die Amplitude für den Zerfall liefert.
(6) Normalerweise $|f(E)|^2$würde einer Wahrscheinlichkeitsdichte in E , einer Lorentzschen oder Cauchy-Verteilung entsprechen , deren (volle) FT, wie Sie sehen, eine ergibt$\propto e^{-|t|/\tau}$, von denen Sie die Hälfte hier verwendet haben.
(5) ist dunkel ... Zeit ist ein Parameter.