Der endliche atomare Messraum kann eine zählbare disjunkte Vereinigung von Atomen sein [Duplikat]

Nov 23 2020

Ein Atom A in einem Messraum ist eine messbare Menge mit positivem Maß, so dass jede messbare Teilmenge von A das gleiche Maß von A oder 0 hat.

Ein atomares Maß ist ein Messraum, in dem sich in jeder messbaren Menge ein Atom befindet.

Nehmen wir an, ich habe einen positiven atomaren Messraum $(X, \Sigma, \mu)$ so dass $\mu(X)<\infty$. Ich möchte beweisen, dass X eine zählbare disjunkte Vereinigung von Atomen und eine Menge mit Nullmaß ist.

Mein Versuch:

X ist eine messbare Menge, daher existiert ein Atom $A_1 \subseteq X$, wenn $\mu(X/A_1) = 0$ Wir sind fertig, wenn nicht wir definieren $A_2$ als Subatom von $X/A_1$und wir gehen diesem Weg für jedes n voraus. Was ich beweisen muss, ist das$\mu(X/\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) = 0$.

Antworten

1 dem0nakos Nov 23 2020 at 02:48

Bin mir nicht sicher, ob du das beweisen kannst $\mu\bigl(X\setminus \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\bigr)=0$ da Sie keine Bedingung in Ihrer Auswahl der haben $A_n$'s, aber dies kann getan werden, wenn Sie Ihre rekursive Konstruktion der verstärken $A_n$'s.

Das obige Argument ist ein Beispiel für ein "Erschöpfungsargument" , wir werden alle Atome von "erschöpfen"$X$.

Lassen $\mathcal{A_1}=\{A\in \Sigma:\, A\subseteq A,\ A\ \text{is an atom}\}$ und $\alpha_1=\sup_{A\in \mathcal{A_1}}\mu(A)>0$. Dann finden wir ein Atom$A_1\subseteq X$ so dass $\mu(A_1)\geq 2^{-1}\alpha_1$(Dies ist unser Zustand). Wie Sie sagten, wenn für jeden$B\subseteq X\setminus A_1$ wir haben $\mu(B)=0$ dann schreiben wir $X=A_1\cup B$und wir sind fertig. Nehmen wir jetzt an, dass$X$kann nicht als endliche disjunkte Vereinigung von Atomen und eine Menge von Nullmaßen geschrieben werden. Wenn wir dann wie zuvor fortfahren, finden wir rekursiv eine Sequenz$A_n$ von Atomen so, dass

$1)$ $\mu(A_{n+1})\geq 2^{-1}\alpha_{n+1}$

$2)$ $\alpha_{n+1}=\sup_{A\in \mathcal{A_{n+1}}}\mu(A)$

$3)$ $\mathcal{A_{n+1}}=\{A\in \Sigma:\, A\subseteq X\setminus(A_1\cup...\cup A_{n}),\,\ $EIN$\, \text{is an atom}\}$

Nun, wenn $A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$ wir werden das zeigen $\mu(X\setminus A)=0$. Seit der$A_n$sind disjunkt von $(1)$ wir haben $$\mu(A)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)\geq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha_n}{2}$$ Jetzt, $\mu$ endlich zu sein impliziert das $\alpha_n\to 0$ wie $n\to \infty$. Nehmen wir jetzt das an$X\setminus A$hat ein positives Maß. Dann,$X\setminus A$ würde ein Atom enthalten, sagen wir $B$. Aber$B\subseteq X\setminus A$ impliziert, dass $B\subseteq X\setminus (A_1\cup ...\cup A_{n})$ für jeden $n$. Also seit$B$ ist ein Atom, dem folgt $B\in \mathcal{A_{n+1}}$. Daher durch die Definition der$\alpha_n's$ Wir müssen haben $\mu(B)\leq \alpha_{n+1}$ für jeden $n$. So,$B$ muss Nullmaß haben, was der Tatsache widerspricht, dass $B$ ist ein Atom und muss ein positives Maß haben.