Dichte und Verteilung dieser numerisch oder analytisch bekannten Lösungen von Riemann $\zeta(1/2 + r i)=0?$

Jan 05 2021

Wir wissen, dass die Vermutung über die Riemann-Hypothese sich auf die nichttrivialen Nullen bezieht $$(1/2 + r i)$$ für einige $r \in \mathbb{R}$ der Riemannschen Zetafunktion.

Meine Frage ist, wie viel über die Dichte und die Verteilung dieser numerisch oder analytisch bekannten Lösungen von bekannt ist$$\zeta(1/2 + r i)=0?$$

Ich habe einen verwandten Beitrag gefunden, aber er war vor ungefähr 8 Jahren. Vielleicht haben wir ein besseres Update?

Mittlere Dichte der nichttrivialen Nullen der Riemannschen Zetafunktion

Antworten

3 ClaudeLeibovici Jan 05 2021 at 11:16

Meiner bescheidenen Meinung nach ist ein Schlüsselpapier das im Jahr veröffentlichte $2014$von G.Franca und A.LeClair . Insbesondere bieten sie eine sehr gute und einfache Annäherung (Gleichung$(229)$ im verlinkten Papier). $$\Im\left(r _{n}\right) \sim \frac{2 \pi \left(n-\frac{11}{8}\right)}{W\left(\frac{n-\frac{11}{8}}{e}\right)}$$ wo $W(.)$ ist Lambert-Funktion;

Wiederholen Sie einige ihrer Berechnungen für $n=10^k$, wir haben $$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{approximation} & \text{solution} \\ 1 & 50.233653 & 49.773832 \\ 2 & 235.98727 & 236.52423 \\ 3 & 1419.5178 & 1419.4225 \\ 4 & 9877.6296 & 9877.7827 \\ 5 & 74920.891 & 74920.827 \\ 6 & 600269.64 & 600269.68 \end{array} \right)$$

2 MatsGranvik Jan 19 2021 at 00:11

Mathematica 8.0.1 Ableitung der Näherung von Eric Weisstein für Grammpunkte:

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*The derivation of the Gram points approximation by Weisstein in \
Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

9.6769067871658668471,
17.847836512849620314,
23.171660819240722718,
27.671198036307304064,
31.718791394674873194,
35.467863110275089697, ...

Modifizierte Mathematica 8.0.1-Ableitung der Näherung von Eric Weisstein mit Franca-LeClair-Punkten:

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*Analogous to the derivation of the Gram points approximation by \
Weisstein in Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n + 1/2)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

14.521346953065628168,
20.655740355699557203,
25.492675432264310733,
29.739411632309551244,
33.624531888500487851,
37.257370086972976394, ...

Die grundlegende Schwierigkeit, eine genaue Asymptotik für die Riemann-Zeta-Nullen zu erhalten, besteht darin, dass die Riemann-Siegel-Theta-Funktion nicht invertierbar ist. User Reuns wiesen mich darauf hin, dass die genaue Asymptotik für die Riemann-Zeta-Nullen seit etwa 120 Jahren bekannt ist und die genaue Asymptotik laut französischer Wikipedia die funktionale Umkehrung der Riemann-Siegel-Theta-Funktion ist.