Dimensionale Regularisierung der Elektronenselbstenergie aus Ryders Buch
Ich studiere die Elektronenselbstenergie unter Verwendung von Ryders Lehrbuch, auf Seite 334 können wir sehen
Definieren$k'=k-pz$und Vermeidung des Begriffs linear in$k'$(weil es zu Null integriert) ergibt \begin{equation} \Sigma(p)=-ie^2\mu^{4-d}\int_0^1dz\gamma_\mu({\not} p-{\not} p z+m)\gamma^\mu\int\frac{d^dk'}{(2\pi)^d}\frac{1}{[k'^2-m^2z+p^2z(1 -z)]^2}.\label{r2.7}\end{equation} [...] Dieses Integral wird mit Hilfe von Gleichung (9A.5) durchgeführt und ergibt \begin{equation} \Sigma(p )=\mu^{4-d}e^2\frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})}{(4\pi)^{d/2}}\int_0^1dz\gamma_ \mu[{\not}p(1-z)+m]\gamma^\nu[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2}. \end{gleichung}
Die Gleichung 9A.5 ist \begin{equation} \int\frac{d^dp}{(p^2+2pq-m^2)^{\alpha}}=(-1)^{d/2}\ imath\pi^{d/2}\frac{\Gamma\left(\alpha-\frac{d}{2}\right)}{\Gamma(\alpha)}\frac{1}{[-q^ 2-m^2]^{\alpha-d/2}} .\tag{9A.5} \end{equation} Ich verstehe nicht, wie er dieses Integral (9A.5) angewendet hat, um das Ergebnis \begin zu erhalten {Gleichung} \Sigma(p)=\mu^{4-d}e^2\frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})}{(4\pi)^{d/2} }\int_0^1dz\gamma_\mu[{\not}p(1-z)+m]\gamma^\nu[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2 }. \end{equation} Bitte helfen Sie mir, eine Idee zu bekommen.
Antworten
Es ist nur eine Frage der Anwendung des Ergebnisses (9A.5) auf das Integral in$d^d k^\prime$. In der Tat anrufen$M^2 = m^2z-p^2z(1-z)$und legen$q=0$im Integral (9A.5)$$ \int\frac{d^dk'}{(2\pi)^d}\frac{1}{[k'^2-m^2z+p^2z(1-z)]^2} = \int\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\frac{1}{[p^2-M^2]^2}=\frac{1}{(2\pi)^d}(-1)^{d/2}i\pi^{d/2}\frac{\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)}{\Gamma(2)}\frac{1}{[-M^2]^{2-d/2}}$$
wo wir gerade die Integrationsvariable geändert haben$k^\prime$zu$p$um es aus dem Ergebnis 9A.5 klarer zu machen. Mit der Tatsache, dass$\Gamma(2) = 1$, unter Verwendung der obigen Definition von$M^2$und ein bisschen vereinfachen, erhalten Sie$$\frac{(-1)^{d/2}}{2^d}i\pi^{-d/2}\Gamma\left(2-\frac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2} = \frac{i(-1)^{d/2}}{(4\pi)^{d/2}}\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2}$$wo wir die Tatsache verwendet haben, dass$2^d = 4^{d/2}$
Vergleichen Sie den zweiten Integranden in der ersten Gleichung mit ty he im Grand in 9A5. Siehst du das$\alpha \rightarrow 2$,$q \rightarrow 0$,$ -m^2 \rightarrow etc.$transformiert einen Integranden in den anderen. Wenn Sie die gleichen Substitutionen in der rechten Seite von 9A5 vornehmen, sollten Sie das gewünschte Ergebnis erzielen.