Eine weitere Frage zu "Alle merkwürdigen Momente verschwinden"
[Frage inspiriert durch Beispiel einer nicht entarteten Zufallsvariablen mit ungeraden Momenten = 0 ]
Annehmen $X$ist eine echte Zufallsvariable, so dass alle ungeraden Momente verschwinden. Das ist$\mathbb E[X^{2n+1}]=0$ zum $n=0,1,2,3\cdots$. Folgt das?$X$ ist symmetrisch verteilt $0$? Das ist,$X$ und $-X$ haben die gleiche Verteilung.
Hinweis: der Fall wo $X$ist begrenzt ist hier zu finden: Beweis das$\mathbb{E} X^k = 0$ für alle ungeraden $k$ impliziert $X$ symmetrisch für begrenzt $X$ ohne charakteristische Funktionen
Antworten
Lassen $X$ Dichte haben $$ f(x) = \frac1{48}\left(1-\mathsf{sign}(x)\sin\left(|x|^{\frac14}\right)\right) e^{-|x|^{\frac14}},\ x\in\mathbb R. $$ Dann für jede positive ganze Zahl $n$ wir haben $$ \mathbb E[X^n] = \int_{-\infty}^\infty x^n f(x)\ \mathsf dx = \frac{(1+(-1)^n)(4(n+1))!}{12}. $$ Daraus folgt sofort das $\mathbb E[X^{2n+1}=0]$ für alle nichtnegativen ganzen Zahlen $n$. Es ist jedoch klar, dass$f$ ist also keine gerade Funktion $X$ ist nicht symmetrisch um Null.