Endliche Permutationsgruppe, deren Nichtidentitätselement einen eindeutigen Fixpunkt hat
Wenn ich mich nicht irre, ist die folgende Aussage wahr:
Satz. Lassen$E$ sei eine (endliche oder unendliche) Menge, lass $G$ sei eine endliche Untergruppe von $S_{E}$ so dass jedes Nichtidentitätselement von $G$hat genau einen festen Punkt. Dann alle Nichtidentitätselemente von$G$haben den gleichen festen Punkt. (Und damit, wenn$G$ ist nicht trivial, es gibt nur ein Element $x$ von $E$ das ist durch jedes Element von festgelegt $G$. Dann$G$ wirkt frei auf $E \setminus \{x\}$.)
Ich habe in Lehrbüchern und im Internet nach einem Beweis gesucht, aber nichts gesehen. (Vielleicht habe ich schlecht ausgesehen.) Ich habe selbst einen Beweis gefunden (ich skizziere ihn unten), aber er ist nicht sehr schön und ich fürchte, er ist zu kompliziert. Meine Frage lautet also: Kennen Sie einen direkteren Beweis?
Hier ist mein Beweis.
$\mathbf{Step 1.}$ Lassen $E$ sei eine (endliche oder unendliche) Menge, lass $G$ eine (endliche oder unendliche) Untergruppe von sein $S_{E}$ so dass jedes Nichtidentitätselement von $G$hat genau einen festen Punkt. Annehmen, dass$G$ist abelisch. Dann alle Nichtidentitätselemente von$G$ haben den gleichen festen Punkt.
$\mathbf{Proof.}$ Lassen $\alpha$ und $\beta$ Nichtidentitätselemente von $G$. Schon seit$G$ ist abelisch, $\alpha ^{-1} \beta \alpha = \beta$.
Anwenden beider Elemente auf den eindeutigen Fixpunkt $b$ von $\beta$ gibt
$\alpha ^{-1} \beta \alpha (b)= b$.
Bewirbt sich $\alpha$ an beide Mitglieder gibt
$\beta \alpha (b) = \alpha (b)$also $\alpha (b)$ ist ein fester Punkt von $\beta$. Schon seit$b$ ist der einzige feste Punkt von $\beta$haben wir also $\alpha (b) = b$also $b$ ist der Fixpunkt von $\alpha)$also $\alpha$ und $\beta$haben den gleichen festen Punkt. Dies beweist Schritt 1.
$\mathbf{Step. 2.}$ Lassen $E$ sei eine (endliche oder unendliche) Menge, lass $G$ eine (endliche oder unendliche) Untergruppe von sein $S_{E}$ so dass jedes Nichtidentitätselement von $G$hat genau einen festen Punkt. Annehmen, dass$G$hat eine nichttriviale normale Untergruppe, deren alle Nichtidentitätselemente den gleichen festen Punkt haben. Dann alle Nichtidentitätselemente von$G$ haben den gleichen festen Punkt.
$\mathbf{Proof.}$ Durch die Hypothese können wir eine nichttriviale normale Untergruppe wählen $H$ von $G$ so dass alle Nichtidentitätselemente von $H$ haben den gleichen festen Punkt.
Wählen Sie ein Nichtidentitätselement $\alpha$ von $H$. Aus den Hypothesen
(1) $\alpha$ hat zum Beispiel einen eindeutigen Fixpunkt $a$, und
(2) jedes nicht identische Element von $H$ hat $a$ als eindeutiger Fixpunkt.
Lassen $\gamma$ ein Nichtidentitätselement von sein $G$. Schon seit$H$ ist normal in $G$, $\gamma ^{-1} \alpha \gamma$ ist ein Nichtidentitätselement von $H$im Hinblick auf (2),
$\gamma ^{-1} \alpha \gamma (a) = a$. Bewirbt sich$\gamma$ an beide Mitglieder gibt $\alpha \gamma (a) = \gamma (a)$also $\gamma (a)$ ist ein fester Punkt von $\alpha$. Somit ist nach (1)$\gamma (a) = a$. Nach der Hypothese$\gamma$ hat nur einen festen Punkt, daher bedeutet unser Ergebnis, dass der einzige feste Punkt von $\gamma$ ist $a$. Dies ist für jedes Nichtidentitätselement bewiesen$\gamma$ von $G$Damit ist Schritt 2 bewiesen.
$\mathbf{Step. 3.}$ Lassen $E$ sei eine (endliche oder unendliche) Menge, lass $G$ eine (endliche oder unendliche) Untergruppe von sein $S_{E}$ so dass jedes Nichtidentitätselement von $G$hat genau einen festen Punkt. Angenommen, es gibt eine generierende Teilmenge$X$ von $G$ so dass alle Nichtidentitätselemente von $X$haben den gleichen festen Punkt. Dann alle Nichtidentitätselemente von$G$ haben den gleichen festen Punkt.
$\mathbf{Proof.}$ Es ist eine leichte Folge der Tatsache, dass jedes Element von $G$ ist ein Produkt von Nichtidentitätselementen von $X \cup X^{-1}$.
$\mathbf{Step. 4.}$ Lassen $E$ sei eine (endliche oder unendliche) Menge, lass $G$ eine (endliche oder unendliche) Untergruppe von sein $S_{E}$ so dass jedes Nichtidentitätselement von $G$hat genau einen festen Punkt. Angenommen, es gibt zwei unterschiedliche maximale Untergruppen$M_{1}$ und $M_{2}$ so dass
(ich) $M_{1} \cap M_{2} \not= 1$,
(ii) alle Nichtidentitätselemente von $M_{1}$ haben den gleichen festen Punkt und
(iii) alle Nichtidentitätselemente von $M_{2}$ haben den gleichen festen Punkt.
Dann alle Nichtidentitätselemente von $G$ haben den gleichen festen Punkt.
$\mathbf{Proof.}$ Aus den Hypothesen (i), (ii) und (iii) ergibt sich, dass
(1) alle Nichtidentitätselemente von $M_{1} \cup M_{2}$ haben den gleichen festen Punkt.
Auf der anderen Seite seit $M_{1}$ und $M_{2}$ sind zwei verschiedene maximale Untergruppen von $G$erzeugen sie $G$, mit anderen Worten,
(2) $M_{1} \cup M_{2}$ ist eine erzeugende Teilmenge von $G$.
Durch (1), (2) und Schritt 3 werden alle Nichtidentitätselemente von $G$ haben den gleichen Fixpunkt, somit ist Schritt 4 bewiesen.
$\mathbf{Step. 5.}$ Lassen $E$ sei eine (endliche oder unendliche) Menge, lass $G$ sei ein $\mathbf{finite}$ Untergruppe von $S_{E}$ so dass jedes Nichtidentitätselement von $G$hat genau einen festen Punkt. Dann alle Nichtidentitätselemente von$G$ haben den gleichen festen Punkt.
$\mathbf{Proof.}$ Nehmen wir im Widerspruch an, dass
(Hyp. 1) Die Aussage ist falsch.
Somit existiert eine Menge $E$ und eine endliche Untergruppe $G$ von $S_{E}$ so dass jedes Nichtidentitätselement von $G$ hat genau einen festen Punkt und die Nichtidentitätselemente von $G$haben nicht alle den gleichen festen Punkt. Unter diesen Untergruppen$G$ von $E$, wählen $G_{0}$mit der geringstmöglichen Reihenfolge. Dann
(2) $G_{0}$ ist eine endliche Untergruppe von $S_{E}$,
(3) jedes Nichtidentitätselement von $G_{0}$ hat einen einzigartigen festen Punkt,
(4) die Nichtidentitätselemente von $G_{0}$ haben nicht alle den gleichen festen Punkt,
und im Hinblick auf die Minimalität von $\vert G_{0} \vert$,
(5) für jede richtige Untergruppe $K$ von $G_{0}$, alle Nichtidentitätselemente von $K$ haben den gleichen festen Punkt.
In Anbetracht von (3), (4), (5) und Schritt 4,
(6) die maximalen Untergruppen von $G_{0}$ paarweise trivial schneiden.
Annehmen, dass
(Hyp. 7) $G_{0}$ hat eine normale Untergruppe $H$ so dass $1 < H < G_{0}$.
Nach (5) (und der Annahme $H < G_{0}$), alle Nichtidentitätselemente von $H$haben den gleichen festen Punkt. Also durch Schritt 2 (und die Annahme$1 < H$), alle Nichtidentitätselemente von $G_{0}$haben den gleichen festen Punkt. Dies widerspricht (4), also (Hyp. 7) ist also absurd$G_{0}$ist eine einfache Gruppe. Somit ist nach (2) und Schritt 1
(8) $G_{0}$ ist eine endliche nicht-abelsche einfache Gruppe.
Nun sind (6) und (8) nicht kompatibel, wie hier bewiesen:
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Finite_and_any_two_maximal_subgroups_intersect_trivially_implies_not_simple_non-abelian
Somit ist unsere Hypothese (1) absurd, so dass Schritt 5 bewiesen ist.
Antworten
Wenn Sie mit der Theorie der endlichen Frobenius-Gruppen vertraut sind, ist es möglicherweise einfacher, diese zu verwenden. Die Wirkung der Gruppe auf eine nicht reguläre Umlaufbahn mit einer Länge von mehr als$1$muss als Frobenius-Gruppe sein, und es muss eine treue Handlung sein. Aber dann können die fixpunktfreien Elemente in der Aktion keine Punkte fixieren, da sie nicht auch in einem Frobenius-Komplement liegen können.
Beachten Sie, dass das Ergebnis für unendliche Gruppen falsch ist, da es unendliche Frobenius-Gruppen gibt, in denen alle Elemente einen eindeutigen Punkt festlegen. (Siehe zum Beispiel die Antwort von Timm von Puttkamer hier .)