Ergodizität im Wandel
Annehmen $\Omega := [0,1]^{\mathbb Z}$ ist mit der Produkttopologie ausgestattet und mit dem Borel ausgestattet $\sigma$-Algebra $\mathcal B(\Omega)$ und es gibt ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\mathbb P$ auf $(\Omega,\mathcal B(\Omega))$ so dass die Verschiebung $T:\Omega \to \Omega$, $$T(\omega)(k) := \omega(k+1),\quad \omega\in\Omega,k\in \mathbb Z$$ ist Maßerhaltung, dh $\mathbb P = \mathbb P \circ T^{-1}$ auf $\mathcal B(\Omega)$und ergodisch, dh $A=T^{-1}(A)$ impliziert $\mathbb P (A)\in\{0,1\}$ für jeden $A\in\mathcal B(\Omega)$. Nun lass$f:[0,1]^3\to[0,1]$ eine messbare Funktion und $U:\Omega \to \Omega$ die Transformation definiert durch $$ U(\omega)(k) := f(\omega(2k-1),\omega(2k),\omega(2k+1)),\quad \omega\in\Omega,k\in\mathbb Z.$$ Wir betrachten das Wahrscheinlichkeitsmaß $\widetilde {\mathbb P}:= \mathbb P\circ U^{-1}$ wo $U^{-1}$ bezeichnet das Vorbild.
Dann vorbei $T\circ U= U\circ T^2$, das hält es $(\Omega,\mathcal B(\Omega), \widetilde {\mathbb P},T)$ist immer noch ein messungserhaltendes dynamisches System. Ist es auch ergodisch?
Bearbeiten: Was sind Beispiele für Wahrscheinlichkeitsmaße$\mathbb P$ auf $\mathcal B(\Omega)$ und setzt $A\in\mathcal B(\Omega)$ so dass $T^{-2}(A)=A$ aber $\mathbb P(A)\notin \{0,1\}$ (und daher unbedingt $T^{-1}(A)\neq A$)?
Antworten
Die Antwort ist negativ: Lassen Sie \begin{align*} \mathbb P &:= \frac 1 2 \left(\delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} + \delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z+1}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} \right), \\ A &:= \left\lbrace (1)_{k\in\mathbb Z} \right\rbrace ,\\ f(x,y,z) &:= y. \end{align*}
Die Wahrscheinlichkeit $\mathbb P$ entspricht der irreduziblen Markov-Kette im Zustandsraum $\{0,1\}$ mit Übergangsmatrix $P = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1& 0\end{pmatrix}$ das hat einzigartige stationäre Verteilung $(\frac 1 2 \,\,\, \frac 1 2)$. In Anbetracht der Antwort auf diese math.SE-Frage das dynamische System$(\Omega,\mathcal B(\Omega),\mathbb P, T)$ist maßerhaltend und ergodisch (aber nicht mischend). Jetzt,$T^{-1}(A)=A$ aber $$U^{-1}(A) = \prod_{k\in \mathbb Z} \begin{cases} \{1\},&\quad k\in 2 \mathbb Z \\ [0,1],&\quad k\in 2\mathbb Z+1\end{cases}, $$ woher $\widetilde{\mathbb P}(A) = \frac 1 2 $.