Funktionsgleichung: $f(f(x))=6x-f(x)$ [Duplikat]
Beweisen Sie, dass es eine eindeutige Funktion gibt $f:R^{+}\rightarrow R^{+}$ $$f(f(x))=6x-f(x)$$
Mein Versuch
Definieren $a_{k+1}=f(a_k)$ dann haben wir die rekursive Beziehung $$a_{k+2}+a_{k+1}-6a_k=0$$ deren charakteristische Gleichung ist $$x^{k+2}+x^{k+1}-6x^k=0$$ $$x^2+x-6=0 \Rightarrow x=-3 ,x=2$$ dh $$a_k=c_1 {(-3)}^k+c_2{(2)}^k$$ .Wie $x>0 \Rightarrow a_0>0\Rightarrow 2c_2>3c_1$
Ich stecke jetzt fest, da ich nicht finden konnte $c_1,c_2$
Antworten
Nach der Arbeit von OP: Für$a_{k+2}+a_{k+1}-6a_k=0$, nehmen $a_k=t^k$ bekommen $t_{1,2}=2,-3$. Wählen Sie nur die positive Wurzel zum Schreiben$a_k=C 2^k \implies a_0=C=x$ (unter der Annahme), als nächstes $a_1=C. 2=2x$. Unter der Annahme$f(x)=a_1.$ Also verstehst du $f(x)=2x.$
Hinweis: hier $$a_0=x, a_1=f(x),a_2=ff(x), a_3=fff(x),....,a_k=f^{k}(x).$$