$G_2$ als Gruppe von Isometrien eines projektiven Raumes
Es scheint, als ob bei der Klassifizierung einfacher komplexer Lügenalgebren jede Lügenalgebra der Gruppe von Isometrien eines projektiven Raums entspricht. SO (n + 1) ist die Gruppe der Isometrien$RP^n$, SU (n + 1) ist die Isometrie von $CP^n$und SP (n + 1) ist die Isometrie von $HP^n$.
John Baez erklärt in seinem Kurs über die Oktonionen, dass die außergewöhnlichen Lügengruppen die Isometriengruppen für projektive Räume sind, die aus den Oktonionen aufgebaut sind, wie auf dem magischen Quadrat der Lügenalgebren 1 zu sehen ist
$G_2$ist die einzige außergewöhnliche Lügengruppe, die in dieser Beschreibung nicht berücksichtigt wurde, und wird normalerweise als die Gruppe der Automorphismen der Oktonier beschrieben, was nett ist, aber nach dem Muster scheint es, dass es auch die Gruppe der Isometrien einer Vielzahl sein sollte. Ist bekannt, wie diese Mannigfaltigkeit aussehen würde?
Antworten
Zu lang für einen Kommentar, aber keine vollständige Antwort:
Es gibt eine berühmte Erkenntnis als $G_2$ als Symmetriegruppe von 'einem Ball, der über einen anderen Ball mit dem dreifachen Radius rollt'.
Ich weiß nicht genau, was das bedeutet, aber wenn Sie eine sinnvolle Parametrisierung aller möglichen Konfigurationen der beiden Bälle erfinden, ist es nicht schwer, sich davon zu überzeugen, dass sein Ding die Struktur einer Mannigfaltigkeit hat. Vielleicht ist diese Mannigfaltigkeit das, was hat$G_2$Symmetrie. Auf der anderen Seite berühren sich nur zwei Bälle. Wenn der Begriff des Rollens irgendwie eine ernstere Rolle spielt, ist es weniger offensichtlich, ob und wie die Geschichte als Mannigfaltigkeit umformuliert werden kann.
Ein guter Ausgangspunkt wäre jedoch Google.$G_2$ Rolling Ball 'oder ähnliches und sehen, was das auftaucht.
EDIT: dieses Zitat aus Wikipedia (die Seite auf $G_2$) klafifiziert es ziemlich viel:
1893 veröffentlichte Élie Cartan eine Notiz, in der ein offener Satz beschrieben wurde $\mathbb{C}^5$ ausgestattet mit einer zweidimensionalen Verteilung, dh einem sich gleichmäßig ändernden Feld zweidimensionaler Teilräume des Tangentenraums, für die die Lie-Algebra gilt $\mathfrak{g}_{2}$erscheint als infinitesimale Symmetrie. [2] Im selben Jahr, im selben Tagebuch, bemerkte Engel dasselbe. Später wurde entdeckt, dass die zweidimensionale Verteilung eng mit einer Kugel zusammenhängt, die auf einer anderen Kugel rollt. Der Konfigurationsraum der rollenden Kugel ist 5-dimensional, mit einer 2-dimensionalen Verteilung, die Bewegungen der Kugel beschreibt, in denen sie rollt, ohne zu verrutschen oder sich zu verdrehen.