Ideal der Grenze von$G/U \subset \overline{G/U}$
Lassen$G$sei eine halb einfache algebraische Gruppe,$B \subset G$ist eine Borel-Untergruppe und$U \subset B$ist das unipotente Radikal von$B$. Wir können die Vielfalt berücksichtigen$G/U$. Lassen Sie uns auch bezeichnen$\overline{G/U}:=\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[G/U])$. Es ist bekannt, dass der natürliche Morphismus$G/U \rightarrow \overline{G/U}$ist eine offene Einbettung. Lassen$\partial{G/U}$sei die Grenze von$G/U$Innerhalb$\overline{G/U}$. Beachten Sie das jetzt$\mathbb{C}[G/U]=\bigoplus_{\mu} V(\mu)$, wo die Summe durch dominante Zeichen läuft$\mu$von$G$(Wir fixieren einen maximalen Torus$T \subset B$, hier$V(\mu)$ist die irreduzible Darstellung von$G$mit höchstem Gewicht$\mu$).
Behauptung: das Ideal von$\partial{G/U} \subset \overline{G/U}$wird generiert durch$V(\mu)$mit$\mu$regelmäßig (streng dominant) sein. Wie kann man diese Behauptung beweisen? Vielleicht gibt es Referenzen?
Antworten
Hier ist eine Möglichkeit, es zu sehen, über die Klassifizierung$G$-invariante radikale Ideale. (Dies hat den Bonus, dass es implizit die Grenze beschreibt.)
Lemma: $G$-invariante Ideale$I$von$\mathbb{C}[G/U]$sind in Bijektion mit Sätzen von Gewichten$S$also für$\lambda\in S$und$\mu > \lambda$,$\mu\in S$. Ein solches Ideal ist radikal iff für alle$\lambda\notin S,$wir haben$n\lambda\notin S$für alle positiven ganzen Zahlen$n$.
Um dies zu sehen, beachten Sie das$G$-Invarianz sagt Ihnen das$I$muss als Summe aufgeteilt werden$$\displaystyle\bigoplus_{\lambda\in S}V(\lambda)$$für irgendeinen Satz$S$. Wenn jetzt$\lambda\in S,$die Multiplikationskarte$V(\mu-\lambda)\otimes V(\lambda)\rightarrow V(\mu)$ist surjektiv und daher$\mu > \lambda$muss auch drin sein$S$.
Die Aussage über radikale Ideale folgt ähnlich.
Aus dieser Aussage können Sie ersehen, dass das Minimum ungleich Null ist$G$-invariantes radikales Ideal (das notwendigerweise die Grenze ausschneidet) entspricht dem Nehmen$S$die Menge aller regulären Gewichte.