Ist die erbliche Version dieses schwachen Endlichkeitsbegriffs nicht trivial?
Sagen Sie das ein Set $X$ ist $\Pi^1_1$-pseudofinite wenn jeder Satz erster Ordnung $\varphi$ mit einem Modell mit zugrunde liegender Menge $X$hat ein endliches Modell. Die Existenz des Unendlichen$\Pi^1_1$-pseudofinite Mengen ist konsistent mit $\mathsf{ZF}$, da in der Tat jede amorphe Menge ist$\Pi^1_1$-Pseudofinit .
Vielleicht überraschend ist nicht sofort klar, ob die Klasse von$\Pi^1_1$-pseudofinite Mengen müssen unter endlichen Vereinigungen geschlossen werden. Meine Frage ist, was passiert, wenn wir diese Schwäche mit brutaler Gewalt beheben:
Stimmt es überein mit $\mathsf{ZF}$dass es eine unendliche erbliche gibt $\Pi^1_1$-pseudofinite Menge - das heißt, eine unendliche Menge $X$ so dass wann immer $Y$ ist $\Pi^1_1$-Pseudofinit, $X\cup Y$ ist auch $\Pi^1_1$-Pseudofinit?
Beachten Sie, dass die erblich $\Pi^1_1$-pseudofinite Mengen werden unter endlichen Vereinigungen geschlossen, so dass die obige Situation tatsächlich "behoben" wird. Eine natürliche Hoffnung ist, dass amorphe Mengen den Trick wieder tun, aber ich verstehe nicht, wie - sicherlich reicht das oben verlinkte Argument nicht aus. (Natürlich gibt es Endlichkeitsbegriffe, die strenger sind als Amorphie - z. B. "in jeder Unterteilung in unendlich viele Stücke sind alle, aber endlich viele dieser Stücke Singletons" -, aber meines Wissens sind sie alle wesentlich pingeliger zu bearbeiten, so würde es sein sei sehr nett, wenn wir nicht dorthin gehen müssten.)
Antworten
Wenn ich richtig verstanden habe, ist es sicherlich konsistent, dass es unendlich viele erblich gibt $\Pi_1^1$-pseudofinite Sätze. Es ist konsistent, dass die Klasse von$\Pi_1^1$-pseudofinite Mengen ist unter endlichen Vereinigungen geschlossen. Ich sage nur "Pseudofinite" statt "$\Pi_1^1$-pseudofinite "für den Rest dieses Beitrags.
Satz. Lassen$N$ sei ein Modell der ZF-Foundation mit einer unendlichen Menge $A\in N$ befriedigend:
- $A$ ist pseudofinite
- Kleine Verstöße gegen die Wahl mit $A^{<\omega}$: für alle $X$ Es gibt eine Ordnungszahl $\alpha$ und eine Vermutung $A^{<\omega}\times\alpha\to X.$
Im $N,$Die Klasse der Pseudofinite-Mengen ist unter endlichen Vereinigungen geschlossen. Bestimmtes,$A$ ist erblich $\Pi_1^1$-Pseudofinit.
Diese Hypothesen gelten im Fraenkel-Grundmodell mit $A$die Menge der Atome sein. 1 gilt weil$A$ ist amorph und 2 gilt weil gegeben $X$ wir können alle gut bestellen $G$-fixierte Surjektionen des Formulars $A^n\to \{gx:g\in G\}$ mit $x\in X,$ wo $G$ ist die Symmetriegruppe, um eine Vermutung zu geben $A^{<\omega}\times\alpha\to \{gx:g\in G, x\in X\}\supseteq X.$ Dieses Modell hat also erblich eine Unendlichkeit $\Pi_1^1$-Pseudofinit gesetzt.
Da Sie nach ZF gefragt haben, ist die Aussage "if $x$ und $y$ sind pseudofinite dann so ist $x\cup y$"ist im Sinne von [1] injektiv begrenzbar. Ein Pseudofinite-Set kann keine Injektion von zulassen $\omega,$ weil dies es erlauben würde, zu interpretieren $(\omega,<).$Es sollte also in Ordnung sein, Fraenkel-Mostowski-Modelle in Betracht zu ziehen. Ich bin mir ziemlich sicher, dass Sie auch das erste Cohen-Modell verwenden können.
Der Satz folgt aus der Äquivalenz dieser Bedingungen für nicht leere Mengen $X\in N$::
- $X$ ist pseudofinite
- Es gibt eine Vermutung $\coprod_{i\in \alpha} A^{p_i}\to X$ für einige $\alpha\in\omega$ und $p\in\omega^\alpha.$
- Es gibt eine Vermutung $A^n\to X$ für einige $n$.
1⇒2 : Durch die kleinen Verstöße gegen das Wahlaxiom gibt es eine Vermutung$f:A^{<\omega}\times \alpha\to X.$
Die Sequenz $\beta\mapsto f(A^{<\omega}\times\beta)$ ist eine gut geordnete, nicht abnehmende Sequenz in $2^X.$ Wenn diese Sequenz unendlich ist, können wir uns auf eine streng zunehmende Funktion beschränken $g:\omega\to 2^X.$ Dies gibt eine Vermutung $X\to\omega$ definiert von $x\mapsto \min\{n:x\in g(n)\}.$ (Alternativ gibt es nach einem Satz von Kuratowski eine Injektion $\omega\to 2^X$ Wenn es eine Vermutung gibt $X\to\omega.$) Das würde lassen $X$ interpretiere die nicht-pseudofinite Theorie $(\omega,<).$ Also können wir annehmen $\alpha<\omega.$
Ebenso die Reihenfolge $k\mapsto f(A^{\leq k}\times \alpha)$ ist eine gut geordnete, nicht abnehmende Sequenz, muss sich also bei einer endlichen Menge stabilisieren $k.$ So $f$ beschränkt sich auf eine Vermutung $A^{\leq k}\times \alpha\to X.$ Nach einiger Neuindizierung hat dies die erforderliche Form.
2⇒3 : einstellen$n=2\alpha+\max p_i$ und kodieren $i$ unter Verwendung der Gleichheitsrelation auf der ersten $2\alpha$ Variablen
3⇒1 : Wir erhalten eine Vermutung$f:A^n\to X$ und eine Struktur erster Ordnung $\mathcal X$ auf $X,$ und wollen beweisen, dass jeder Satz $\phi$ von $\mathcal X$hat ein endliches Modell. Indem wir alle Operationen durch ihre Diagramme ersetzen, können wir davon ausgehen$\phi$verwendet keine Operationen. Wir können auch annehmen$\phi$verwendet keine logische Gleichheit, indem eine neue Beziehung für Gleichheit hinzugefügt wird. Jede Beziehung$R\subseteq X^{a_R}$ kann zu einer Beziehung zurückgezogen werden $\hat{R}\subseteq (A^n)^{a_R}=A^{na_R}$ durch $$\hat{R}(x_{0,0},\dots,x_{a_R-1,n-1})\iff R(f(x_{0,0},\dots,x_{0,n-1}),\dots,f(x_{a_R-1,0},\dots,x_{a_R-1,n-1}))$$ eine Interpretation von geben $\mathcal X$ in einer Theorie erster Ordnung $\hat{\mathcal X}$ definiert am $A.$ Der Satz $\phi$ ist ein Satz von $\hat{\mathcal X},$ muss also ein endliches Modell haben.
[1]: David Pincus, Zermelo-Fraenkel-Konsistenzergebnisse nach Fraenkel-Mostowski-Methoden, The Journal of Symbolic Logic, Vol. 3, No. 37, Nr. 4 (Dezember 1972), S. 721-743