Ist die Gysin-Karte in $K$-Theorie Respekt Bordismus?
Lassen $X_1$ und $X_2$ zwei geschlossene Drehungen sein$^c$ Verteiler, die über einen Spin bordant sind$^c$ Mannigfaltigkeit mit Grenze $W$.
Lassen $Z$ sei ein geschlossener Spin$^c$ Verteiler mit $\dim Z=\dim X_1$ mod $2$. Lassen$$f_1:X_1\to Z,\qquad f_2:X_2\to Z,\qquad F:W\to Z$$ glatte Karten sein, so dass $F|_{X_1}=f_1$ und $F|_{X_2}=f_2$. Wir können uns mit verbinden$f_1$ und $f_2$ zwei falsche (oder Gysin) Karten in $K$-Theorie:
$$f_{1!}:K^0(X_1)\to K^0(Z),$$ $$f_{2!}:K^0(X_2)\to K^0(Z).$$
Lassen $E_1\to X_1$ und $E_2\to X_2$ zwei sein $\mathbb{C}$-Vektorbündel, so dass ein Vektorbündel existiert $\Omega\to W$ befriedigend $\Omega|_{X_1}\cong E_1$ und $\Omega|_{X_2}\cong E_2$. Lassen$[E_i]\in K^0(X_i)$ bezeichnen die $K$-Theorieklassen definiert durch $E_i$.
Frage: Stimmt das?$f_{1!}[E_1]=f_{2!}[E_2]\in K^0(Z)$?
Hinzugefügt nach: Ich wäre am meisten an einem Ansatz interessiert, der die Poincare-Dualität nicht direkt für die K-Theorie / K-Homologie verwendet.
Antworten
Lassen $N^n=\partial M^{n+1}$, $E\in K^\bullet(M)$ und $f:M\to X$
Wählen Sie eine reibungslose Einbettung $i:X\to \mathbb{R}^N,N>>1$bezeichnen mit $\chi$ das normale Bündel von $X$ und von $\mu$ das normale Bündel von $M$ nach geeigneter kleiner Verformung von $i\circ f$.
Lassen $\nu=\mu|_N$ und $\eta$ sei das normale Bündel von $N\subset M$ (was trivial und eindimensional ist)
Durch die Betrachtung röhrenförmiger Nachbarschaften erhalten wir die natürliche Karte:
$t:Th_\chi X\to Th_{\nu+\eta}N$, wo $Th$ bezeichnet einen Thom-Raum.
Nach Anwendung des Thom-Isomorphismus $th$ auf $K^\bullet$ Wir erhalten die Definition einer Gysin-Karte (auf a $Th$'s). So für$f_!(E|_N)=0$ es reicht aus, das zu beweisen $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$
Tatsächlich $t^*$durchläuft einen verbindenden Homomorphismus. Es gibt nämlich ein kommutatives Diagramm:
$\begin{matrix} Th_{\chi}X&\to& Th_{\mu}M/Th_\nu N&\\ \downarrow{t}&\swarrow{\sigma}&\downarrow{\Sigma}&\\ Th_{\nu+\eta}N&\xrightarrow{\sim}& \Sigma Th_{\nu}N&\\ \end{matrix}$
Der obere Pfeil stammt aus den röhrenförmigen Nachbarschaften.
Der horizontale Isomorphismus kommt von der Trivialität von $\eta$während der Suspendierung $\Sigma$ aus der Puppe-Cofiber-Sequenz:
$Th_\nu N\to Th_\mu M\to Th_\mu M/Th_\nu N\xrightarrow{\Sigma} \Sigma Th_{\nu}N$
Die Karte $\sigma$ erklärt Kommutativität und kommt von:
$Th_\mu M/Th_\nu N\sim Th_\mu M/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to$ $Th_\mu (N\times(-\varepsilon,\varepsilon))/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to Th_{\nu+\eta}N$ wo $N\times [0,\varepsilon)\subset M$ ist ein Kragen von $N$.
Schließlich, $\Sigma^*$ ist der verbindende Homorphismus und daraus folgt $\Sigma^* th_{\nu}(F)=0$ für alle $F\in Im( K^\bullet(M)\to K^\bullet(N))$, damit $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$
Die Antwort lautet Ja, wobei allgemeine Eigenschaften von Orientierungen und Grundklassen verwendet werden.
Lassen $X_1$ und $X_2$ Sein $n$--dimensional. Dann$f_{!i}$ ist das Komposit $$K^0(X_i) \xrightarrow[\sim]{\cap [X_i]} K_n(X_i) \xrightarrow{f_{i*}} K_n(Z) \xleftarrow[\sim]{\cap [Z]} K^0(Z).$$
Inzwischen Poincare Dualität für $W$ hat die Form $K^0(W) \xrightarrow{\cap [W]} K_{n+1}(W, X_1 \coprod X_2)$, und $d([W]) = [X_1]-[X_2]$. So$ d(\Omega \cap [W]) = (E_1 \cap [X_1], -E_2 \cap [X_2])$, und so
$$ (f_{1*})(E_1 \cap [X_1]) - (f_{2*}(E_2 \cap [X_2]) = F_* i_* (d(\Omega \cap [W])) = 0,$$
seit dem Verbund
$$K_{n+1}(W,X_1\coprod X_2) \xrightarrow{d} K_n(X_1 \coprod X_2) \xrightarrow{i_*} K_n(W)$$
ist Null.