Korrespondenz zwischen Vertretung von $SL(2,\mathbb{C})$und von $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$

Question

Für die Lügengruppe$SL(2,\mathbb{C})$Betrachten Sie die durch definierten Darstellungen

$\begin{equation}\Pi_1:SL(2,\mathbb{C})\to GL(2,\mathbb{C}), A\mapsto A\end{equation}$

und

$\begin{equation}\Pi_2:SL(2,\mathbb{C})\to GL(2,\mathbb{C}), A\mapsto A^*\end{equation}$

Woher$A^*$ist der elementweise Komplex konjugiert von$A$. Soweit ich weiß, sind diese sowohl irreduzibel als auch nicht isomorph.

Andererseits entsprechen beide Darstellungen einer eindeutigen Lie-Algbera-Darstellung von$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$der Dimension 2,$\pi_1,\pi_2$. Jetzt gibt es nur noch eine Lie-Algbera-Darstellung von$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$der Dimension 2 bis zur Isomorphie.

Somit$\pi_1\cong \pi_2$. Das sagt ein anderes Theorem$\pi_1$und$\pi_2$sind genau dann isomoprh, wenn$\Pi_1$und$\Pi_2$sind isomorph.

Aber$\Pi_1 \not\cong \Pi_2$.

Meine Frage ist, wo genau der Fehler liegt. Übersehe ich etwas Offensichtliches? Welcher Schritt ist falsch und warum?

Answer 1

Wenn Sie wirklich differenzieren$\Pi_2$Sie werden feststellen, dass Sie keine komplexe Darstellung von erhalten$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, daher gilt der von Ihnen zitierte Satz zur Klassifizierung solcher Darstellungen nicht. Wie Moishe in den Kommentaren sagt, besteht die Lösung darin, nur holomorphe Darstellungen zu berücksichtigen, die$\Pi_2$ist nicht.