Kurzer Trick, um die Anzahl der Sylow p-Untergruppen in Permutationsgruppen zu ermitteln. [Duplikat]
Ich weiß, $|S_4 |=24 =2^3\cdot3$.
Also hier die Reihenfolge von Sylow $2$ Untergruppe ist $8$ und nach dem dritten Sylow-Theorem können wir die Anzahl der Sylows sagen $2$ Untergruppen ist $1$ oder $3$. Dann durch das Finden der Sylow$2$ Untergruppen explizit können wir schließen, dass seine $3$. Aber hier kennen wir auch die Anzahl der Sylows$3$ Untergruppen ist $1$ oder $4$.
Meine Frage ist, können wir die genaue Anzahl der Sylows finden $2$ und $3$ Untergruppen ohne explizite Berechnung der Sylow-Untergruppen, nur durch Elementzählung der Untergruppen, weil wir manchmal nur die genaue Anzahl der Sylow-Untergruppen benötigen?
Antworten
Annehmen $S_4$ hat einen einzigartigen Sylow $2$-Untergruppe sagen $K$. Von Sylow Zweiter Satz,$K$ muss normal sein in $S_4$. Aber$S_4$ hat keine normale Untergruppe der Ordnung $8$(Siehe hier ). Daher die Nummer von Sylow$2$-Untergruppen in $S_4$ muss drei sein.