Laplace-Transformation: Integral gegen Pole & Nullen
Wenn die Laplace-Transformation ausgedrückt wird als:
$$\int_{-\infty}^{+\infty} h(t)e^{-st}dt $$
mit:
$$s = \sigma + j\omega$$
und $h(t)$ eine Impulsantwort ausgedrückt als:
$$h(t) = Ae^{-\sigma_0t}\cos(\omega_0t+\phi) = e^{-\sigma_0t}\cos(\omega_0t)$$ (($A=1$ und $\phi = 0$ zur Vereinfachung $h(t)=0$ wenn $t<0$)
Dann wird jede vertikale Linie (parallel zur imaginären Achse) in der $s$ Ebene entspricht der Fourier-Transformation von $f(t) = h(t)e^{-\sigma t}$ für eine feste $\sigma$.
Zum $\sigma = -\sigma_0$, das abklingende Exponential von $h(t)$ wird abgebrochen und wir erhalten die Fourier-Transformation * von $h(t) = \cos(\omega_0t)$, das heißt: diracs bei $\omega_0$ und $-\omega_0$ (nicht genau, siehe (*) unten), daher zwei Pole: $-\sigma_0 + j\omega_0$ und $-\sigma_0 - j\omega_0$ wie im folgenden Bild (nur Abbildung, Pole nicht richtig positioniert):

In der Tat können wir das verstehen:
(*) Bitte beachten Sie, dass Folgendes nicht korrekt ist: seit $h(t) = 0$ wenn $t<0$sollten wir die einseitige Laplace-Transformation verwenden, nicht die bilaterale! Hier würden wir also die einseitige Fourier-Transformation einer Sinuskurve erhalten, nicht die bilaterale (nur mit Diracs)! Um zu sehen, was dies sein würde, lesen Sie bitte den Link am Ende der akzeptierten Antwort
$$\int_{-\infty}^{+\infty} h(t)e^{-j\omega t}dt $$ $$= \int_{-\infty}^{+\infty} \cos(\omega_0t)e^{-j\omega t}dt$$ $$= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{j\omega_0t}-e^{-j\omega_0t}}{2}e^{-j\omega t}dt$$ $$= \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{j(\omega_0-\omega)t}-e^{-j(\omega_0+\omega)t}dt$$
Wenn $\omega = \omega_0$ oder $-\omega_0$, dann würde das Integral aufgrund der explodieren $$\int_{-\infty}^{+\infty} e^0dt $$ Mitglied, daher die Pole in der s-Ebene.
Wie in Kapitel 32, S. 24 des DSP-Handbuchs für Wissenschaftler und Ingenieure (siehe Abbildungen unten) gezeigt, multiplizieren wir mit der Laplace-Transformation$h(t)$ mit $e^{-st}$ = $e^{-\sigma}e^{-j\omega}$Das heißt, wir multiplizieren $h(t)$ mit Sinuskurven, die entweder:
- (a) Exponentiell abfallend ($\sigma$ > 0)
- (b) Stabil ($\sigma = 0$)
- (c) Exponentiell langsamer als unser Impulsantwortabfall ($ -\sigma_0 < \sigma < 0$)
- (d) Exponentiell wachsend, um unseren Abfall der Impulsantwort zu kompensieren ($\sigma = -\sigma_0$): OK, wie oben untersucht.
- (e) Exponentiell schneller wachsen ($\sigma < - \sigma_0$ und $\sigma < 0$)
(Buchstaben entsprechen Punktpaaren in der in den folgenden Abbildungen gezeigten s-Ebene, immer an einem festen Punkt $\omega$ oder $-\omega$ Wert)


Ich verstehe Fall d: Da wir den exponentiellen Teil aufheben, erhalten wir nur die (einseitige !!) Fourier-Transformation einer Sinuskurve. Das heißt: unendlich bei$\omega_0$ und $-\omega_0$ daher die Pole (obwohl ich nicht weiß, warum wir eine kontinuierliche Funktion von Omega mit unendlichen Werten bei haben $\omega_0$ und $-\omega_0$anstelle von Diracs wie in der ursprünglichen Fourier-Transformation einer Sinuskurve -> Da wir einseitiges Laplace verwenden, daher Fourier, siehe Ende der akzeptierten Antwort! ).
Fall a, c und e sind intuitiv. In Fall a multiplizieren wir$h(t)$mit einem abnehmenden Exponential. Das Integral ist ein endlicher komplexer Wert (für alle Werte von$\sigma > 0$. In Fall c multiplizieren wir mit einem Exponential, das langsamer wächst als das abklingende Exponential von$h(t)$, daher ein endlicher komplexer Wert für das Integral (für alle Werte von $-\sigma_0 < \sigma < 0$). Im Fall e multiplizieren wir die$h(t)$ durch ein Exponential, das schneller wächst als das Exponential von $h(t)$ Zerfälle: daher konvergiert das Integral nicht (für alle Werte von $\sigma < -\sigma_0$).
Aber für Fall b kann ich nicht verstehen, warum das Integral Null ist, wie mit der Fläche unter der Kurve gezeigt (rot in den obigen Abbildungen)? Mit anderen Worten, ich verstehe die vertikale Linie in der s-Ebene bei$\sigma = -\sigma_0$ist es die Fourier-Transformation von $h(t)e^{-\sigma_0 t}$ es ist also eine Fourier-Transformation von $h(t)$Sobald seine exponentielle Komponente entfernt ist, daher 2 Pole aufgrund der Sinuskurve. Wir bekommen immer Pole$e^{-st}$ist identisch (kompensiert) mit der Impulsantwort. Aber was würde Fourier-Transformation von verursachen$h(t)e^{-\sigma t}$ bei einigen 0 sein $\omega$? Für welche$h(t)$ und wie würde sich das auf die Fläche unter der Kurve auswirken (Integral)?
Antworten
Die Definition der von Ihnen verwendeten Laplace-Transformation wird als bilaterale Laplace-Transformation bezeichnet, die weniger häufig ist als die einseitige Laplace-Transformation. Der Unterschied zwischen den beiden besteht darin, dass der erste eine untere Integrationsgrenze von hat$-\infty$ während die zweite eine Untergrenze von hat $0$. Diese Differenz wird irrelevant, wenn das betrachtete Signal für Null ist$t<0$. Dies ist im Beispiel des Buches der Fall. Beachten Sie jedoch, dass die bilaterale Laplace-Transformation der Impulsantwort$h(t)$ dass Sie in Ihrer Frage definiert haben, existiert für keinen Wert von $s$. Es existiert, wenn Sie einstellen$h(t)$ auf Null für $t<0$ (dh multiplizieren Sie es mit einem Einheitsschritt $u(t)$).
Die Zahlen im Buch beziehen sich auf einen Kausal- Notch-Filter. Es ist zu beachten, dass der Konvergenzbereich (ROC) der Laplace-Transformation dieser Impulsantwort rechts von den Polen liegt. Folglich wird die Laplace-Transformation bei einem festen Wert von ausgewertet$s$rechts von den Polen ist endlich, einfach weil wir uns innerhalb der Republik China befinden, dh das Integral konvergiert. Wenn wir uns entscheiden$s$genau bei der Null des Filters bewerten wir dann die Reaktion des Filters bei der Kerbfrequenz, die Null sein muss, einfach durch die Definition von "Kerbfrequenz". Die Antwort des Filters auf ein Signal mit dieser Frequenz muss Null sein. Schließlich, wenn wir den Wert von wählen$s$ Genau an oder links von den Polen des Filters befinden wir uns außerhalb des ROC. In diesem Fall konvergiert das Integral nicht.
Der ursprüngliche Beitrag wurde aktualisiert, um Informationen darüber hinzuzufügen, warum das Integral divergiert oder einen endlichen komplexen Wert hat.
Abbildung 32.5 (ursprüngliche Frage) kann nicht verstanden werden (insbesondere "b. Genaue Stornierung"), wenn wir Folgendes berücksichtigen:
$$ h(t) = e^{-\sigma_0t}\cos{\omega_0t} $$
(($h(t) = 0$ zum $t<0$)
$h(t)$in Abb. 32-5 ist keine einfache exponentiell abfallende Sinuskurve: Wenn dies der Fall wäre, könnte das Integral tatsächlich für keinen Wert von s gleich 0 sein, wie in der ursprünglichen Frage aufgeworfen.
Stattdessen, wie von Matt L. hervorgehoben, $h(t)$ist die Impulsantwort eines Notch-Filters. Wie hilft dies beim Verständnis, warum das Integral für einige auf 0 gehen würde?$s$? Nun, diese Impulsantwort hat die Besonderheit, einen Dirac zu haben (und auch eine Kombination von exponentiell abfallenden Sinuskurven)! Und wenn Sie auf Abb. 32-5 achten, wird dieser Dirac tatsächlich in der Impulsantwort angezeigt (ich habe diesen Gedanken übersehen, dass es sich um die Ordinatenachse handelt ...), siehe Abbildung unten:

Und es ist die Fläche unter diesem Dirac, die die Fläche unter den exponentiell abfallenden Sinuskomponenten von kompensiert $h(t)$ für die entsprechenden Werte von $s$daher die Nullen!
Eine ausführlichere Erläuterung sowohl der damit verbundenen Berechnung als auch der physikalischen Bedeutung eines Diracs in einer Impulsantwort finden Sie in den Antworten auf diese Frage .
Eine andere Frage war die folgende:
(obwohl ich nicht weiß, warum wir eine kontinuierliche Funktion von Omega mit unendlichen Werten bei ω0 und −ω0 anstelle von Diracs wie bei der ursprünglichen Fourier-Transformation einer Sinuskurve haben).
Ich denke, das liegt an einer einseitigen Laplace-Transformation anstelle einer bilateralen. In diesem Beispiel sehen Sie die einseitige Fourier-Transformation von Sinuswellen. Es ist, als hätten wir die Sinuswelle mit einer Einheitsschrittfunktion multipliziert. Die einseitige Fourier-Transformation einer Sinuswelle ist also die Fourier-Transformation einer Sinuswelle, die durch die Fourier-Transformation einer Einheitsschrittfunktion gefaltet wird (siehe Details im angegebenen Link). Dies ist der Grund, warum in einer bestimmten vertikalen Schicht (für eine feste$\sigma$) von $s$ Flugzeug bekommen wir nicht die übliche Fourier-Transformation, sondern die einseitige, die etwas anders ist.