Lassen $\alpha$ sei eine Wurzel von $(x^2-a)$ und $\beta$ sei eine Wurzel von $(x^2-b)$. Bedingungen bereitstellen über $a$ und $b$ haben $F=K(\alpha+\beta)$.

Question

FRAGE: Lassen Sie$K$ sei ein charakteristisches Feld, das sich von 2 unterscheidet $F$ ein Teilungsfeld für sein $(x^2-a)(x^2-b)\in K[x]$. Lassen$\alpha$ sei eine Wurzel von $(x^2-a)$ und $\beta$ sei eine Wurzel von $(x^2-b)$. Bedingungen bereitstellen über$a$ und $b$ haben $F=K(\alpha+\beta)$.

MEINE VERSUCHUNG:

Lassen $\alpha=\sqrt{a}$, $\beta=\sqrt{b}$ und $\gamma=\alpha+\beta$. Zuallererst haben wir$F=K(\alpha, \beta)$aufgrund der Definition des Aufteilungsfeldes. Definieren$K(\alpha+\beta)=K(\gamma)$.

Lassen Sie uns das zeigen $K(\alpha, \beta)\subset K(\gamma)$::

• Von $\gamma=\alpha+\beta$ folgt dem \begin{align*} \gamma^2&=(\alpha+\beta)^2\\ &=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2\\ &=(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}\sqrt{b} +(\sqrt{b})^2\\ &=(a+b)+2\sqrt{a}\sqrt{b}\qquad (*)\\ \end{align*}
• Jetzt werden wir das zeigen $\sqrt{b}\in K(\gamma)$

In der Tat multiplizieren beide Seiten in $(*)$ durch $\sqrt{b}$ wir haben:

$\gamma^2\sqrt{b}=(a+b)\sqrt{b}+2\sqrt{a}(\sqrt{b})^2$. Dann$$\sqrt{b}=\frac{2b\sqrt{a}+(a+b)\sqrt{b}}{\gamma^2}\in K(\gamma)$$

• Ähnlich, $\sqrt{a}\in K(\gamma)$, das ist

$\gamma^2\sqrt{a}=(a+b)\sqrt{a}+2(\sqrt{a})^2\sqrt{b}$, dann

$$\sqrt{a}=\frac{(a+b)\sqrt{a}+2a\sqrt{b}}{\gamma^2}\in K(\gamma)$$

MEIN ZWEIFEL: Ich denke, es gibt keine Bedingungen mehr$a$ und $b$ so dass $\alpha=\sqrt{a}$ und $\beta=\sqrt{b}$Ich bin mir jedoch nicht sicher. Und ich weiß nicht, wie ich das mit der Hypotese verbinden soll$K$hat unterschiedliche Eigenschaften von zwei. Würdest du mir bitte helfen?

Answer 1

Sobald Sie das wissen $[ K( \alpha,\beta ) : K ]=4$mit Basis $\{1,\alpha,\beta,\alpha\beta\}$können Sie wie folgt vorgehen: $$ \begin{pmatrix} 1 \\ \gamma \\ \gamma^2 \\ \gamma^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ a+b & 0 & 0 & 2 \\ 0 & a+3b & 3a+b & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \\ \beta \\ \alpha\beta \end{pmatrix} $$ Die Matrix hat eine Determinante $4(b-a)$ und so ist invertierbar iff $a\ne b$ da das Merkmal von $K$ ist nicht $2$. Deshalb,$\{1,\gamma,\gamma^2,\gamma^3\}$ ist auch eine Basis und erzeugt so den gleichen Raum, das heißt, $K( \alpha,\beta ) = K(\gamma)=K( \alpha + \beta )$.

Fazit: Die Hauptbedingung ist das $[ K( \alpha,\beta ) : K ]=4$, oder gleichwertig, $\beta \not\in K( \alpha)$.

Dieser Ansatz funktioniert nicht in charakteristischen $2$ weil $[K(\gamma):K]\le 2$ schon seit $\gamma^2 = a+b \in K$.

Answer 2

Wir nehmen an, dass $x^2-a,x^2-b$ sind über irreduzibel $K$ und $b\ne a$, da sonst das Problem trivial ist.

• Wenn $\sqrt{b}\not \in K(\sqrt{a})$dann zeig das$\sqrt{a}+\sqrt{b}$hat 4 verschiedene Konjugate (dort verwenden wir$char(K)\ne 2$) was das impliziert $[K(\sqrt{a}+\sqrt{b}):K] = 4$.

• Wenn $\sqrt{b}=u+v\sqrt{a} \in K(\sqrt{a})$ dann $v\ne 0$ so $(u+v\sqrt{a})^2\in K$ impliziert $u=0$. Schon seit$b\ne a$ dann $v\ne \pm 1$ und daher $K(\sqrt{a}+\sqrt{b})= K((v+1)\sqrt{a})=K(\sqrt{a})$.