Mache ich Vietas Formeln richtig?

Question

Ich habe diese Übung erhalten: $x^2 - (m+3)x + m + 2$Ich soll überprüfen, für welche realen Werte der Parameter $m$ kann verwendet werden, damit dies funktioniert:

$1/x_1 + 1/x_2 > 1/2$ (Ich multipliziere beide Seiten mit 2x1x2) und erhalte Folgendes:

$2(x_1 + x_2) -x_1x_2 > 0$

was zu $m > -4$ mit Vietas Formeln

Danach habe ich noch ein Argument, $x_1^2 + x_2^2 < 5$

Nach dem Lösen verstehe ich das $m$ ist in der Pause $(-4,0)$

Mein Buch sagt mir das Endergebnis für möglich $M$ Lösungen ist in der Pause $(-2,0)$.

Was mache ich falsch?

Answer 1

Sie können nicht mit multiplizieren $x_1x_2$ da Sie nicht wissen, ob es sich um eine positive oder negative Größe handelt (denken Sie daran, dass das Vorzeichen der Ungleichung ausgetauscht werden müsste, wenn es negativ wäre, und ansonsten gleich bleiben würde).

Denken Sie daran, was Vietes Formeln Ihnen sagen $x_1+x_2 = m+3$ und das $x_1x_2 = m+2$. Sie können diese verwenden, wenn Sie die linke Seite vereinfachen:$$\frac 1{x_1} + \frac1{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{m+3}{m+2},$$ Sie möchten also sicherstellen, dass $m$ ist so, dass $$\frac{m+3}{m+2}>\frac12.$$ Wir können uns nicht durchgehend mit multiplizieren $m+2$da wir sein Zeichen nicht kennen. Wir können mit multiplizieren$(m+2)^2$Dies ist sicherlich nicht negativ. Das gibt uns$$(m+3)(m+2)>\frac12(m+2)^2$$ was vereinfacht zu $$(m+2)(m+4)>0.$$ Ein Produkt aus zwei Zahlen ist $>0$ entweder wenn sie beide sind $>0$oder wenn sie beide sind $<0$.

Im ersten Fall (wann $m+2$ und $m+4$ sind beide positiv), haben wir $m>-2$ und $m>-4$, was einfach gleichbedeutend ist mit sagen $m>-2$.

Im zweiten Fall (wenn beide negativ sind) haben wir $m<-2$ und $m<-4$, das ist das gleiche wie das zu sagen $m<-4$.

Zusammenfassend ist Ihr Zustand also gleichbedeutend damit, dies zu sagen $$\boxed{\text{$m <-4$ or $m> -2$}}.$$

Answer 2

Bei Ungleichungen ist es normalerweise eine gute Idee, die Brüche zu kombinieren, wenn Sie sich über ihre Vorzeichen nicht sicher sind. Beispiele finden Sie hier und hier .

Jetzt $$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} > \frac 12 \iff \frac{2x_2+2x_1-x_1 x_2}{2x_1 x_2} >0 \\ \iff \frac{2(m+3)-m-2}{2(m+2)} = \frac{m+4}{2(m+2)}>0 \iff (m+2)(m+4) > 0 \\\iff m \in (-\infty, -4)\cup (-2, \infty)$$ Und $$x_1^2+x_2^2 < 5 \iff (x_1+x_2)^2-2x_1 x_2 < 5 \\\iff (m+3)^2-2(m+2)-5 = m(m+4) < 0\\ \iff -4<m<0 $$

Deshalb $-2<m<0$.