Max-relative Entropie zwischen einem Zustand und seinen Rändern
Hintergrund
Die quantenrelative Entropie ist für beliebige Quantenzustände definiert$\rho, \sigma$wie
$$D(\rho\|\sigma) = tr(\rho\log\rho) - tr(\rho\log\sigma)$$
Zur willkürlichen Auswahl von$\rho,\sigma$, kann die quantenrelative Entropie jeden nichtnegativen Wert annehmen. Stellen Sie sich einen zweigeteilten Staat vor$\rho_{AB}$und lassen Sie seine Ränder sein$\rho_A$und$\rho_B$. Wenn wir überlegen$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, wir haben die gegenseitigen Informationen. Außerdem haben wir das
$$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B) \leq \min(2\log|A|, 2\log|B|)$$
Frage
Das One-Shot-Analogon der relativen Entropie ist die max-relative Entropie und ist definiert als
$$D_{\max}(\rho \| \sigma)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb{R}: 2^{\lambda} \sigma \geq \rho\right\},$$
wo$A\geq B$wird verwendet, um das zu bezeichnen$A-B$ist positiv semidefinit. Wie die gewöhnliche relative Entropie kann auch die max-relative Entropie jeden nicht negativen Wert annehmen. Wenn ich jetzt überlege$D_{\max}(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, gibt es eine Obergrenze für den maximal zulässigen Wert?
Ich glaube, die Antwort lautet ja, da der Fall ist$+\infty$ist aufgrund der Unterstützung von ausgeschlossen$\rho_{AB}$enthalten in der Unterstützung von$\rho_A\otimes\rho_B$konnte aber keine Grenze finden.
Antworten
$\renewcommand{ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}$Ein Zustand, der die gegenseitige Informationsgrenze sättigt, ist$$\rho_{AB} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \ket{a_i}\ket{b_i} $$wo$N = \min(|A|,|B|)$und$\{\ket{a_i}\}, \{\ket{b_i}\}$sind Grundlagen für$A,B$, beziehungsweise. Intuitiv maximiert dieser Zustand die Entropie der Ränder, während er sie beibehält$A$und$B$perfekt korreliert.
Dieser Zustand gibt$I_{\max} = \log_2(N)$. Ich habe nicht bewiesen, dass dies eine Obergrenze ist, aber es scheint ein guter Ausgangspunkt zu sein.