Serge Langs Projektion
Diese Frage ist eine Fortsetzung der Identität bis hin zum Isomorphismus, der als Identität im Beweis behandelt wird . Ich dachte, dass ich mit all der freundlichen Hilfe jetzt in der Lage sein würde, die Skizze eines von Lang gegebenen Beweises für die Folgerung dual zu dem im obigen Thread zu erarbeiten und seine auf einer Identität basierenden Identitätsannahmen zu beseitigen auch dort bis zum Isomorphismus . Aber ich kann nicht. Hier ist das Problem:
In "Fundamentals of Differential Geometry", 1999, S. 18-19, gibt Serge Lang die folgende Definition:
Und dann diese Folge des inversen Mapping-Theorems:
Zunächst einige Klarstellungen: Morphismus bedeutet $ C^p$ Karte, lokaler Isomorphismus bedeutet lokal $ C^p$Diffeomorphismus, toplinearer Isomorphismus kann hier als linearer Isomorphismus angesehen werden. Außerdem verstehe ich zu sein$ V_1 \subseteq E_1 $ und $ V_2 \subseteq E_2 $und die lokale Umkehrung h, auf die sich Lang bezieht, zu sein $ \varphi^{-1} $und nicht die Umkehrung der Ableitung, wie Langs Wortlaut impliziert.
Wieder sehe ich nicht wie $ \varphi^{-1} $ erfüllt die Anforderung der Folgerung.
Um die Identifikation zu beseitigen $ E_2=F $ im Beweis sei stattdessen
$ \varphi: E_1 \times E_2 \rightarrow E_1 \times F $.
Dann stellen Sie die $ C^p $ Diffeomorphismus
$ g: E_1 \times E_2 \rightarrow E_1 \times F: \quad (x_1,x_2) \mapsto (id_1, D_2f(a_1,a_2))[x_1,x_2] $
und ersetzen $ h:=\varphi^{-1} $ bis zum $ C^p $ Diffeomorphismus $ h \circ g: E_1 \times E_2 \rightarrow E_1 \times E_2 $. Aber wie funktioniert die resultierende Karte damit?$ f \circ h \circ g: E_1 \times E_2 \rightarrow F $ Faktor in eine gewöhnliche Projektion $ V_1 \times V_2 \rightarrow V_2 $ und ein linearer Isomorphismus $ V_2 \rightarrow W(0) \subseteq F $ mit einer offenen Nachbarschaft W?
Können wir die lokale Karte angeben? $ \varphi^{-1} $ausdrücklich? Ist es$ \varphi^{-1}(x_1,y) = (x_1, pr_2 \circ f^{-1}(y)) $ zum $ y \in F $?
Deutlich $ \varphi^{-1}(\varphi(x_1,x_2))= \varphi^{-1}(x_1,f(x_1,x_2)) = (x_1,x_2) $. Aber der umgekehrte Weg löst sich nicht richtig:
$ \varphi(\varphi^{-1}(x_1,y))= \varphi(x_1, pr_2 \circ f^{-1}(y)) =(x_1,f(x_1,pr_2 \circ f^{-1}(y)) $.
Und können wir übrigens auch f als lokal invertierbar betrachten? Bewertung der Zusammensetzung$ f \circ h \circ g $ scheint nirgendwohin zu führen
$ f(h(g(x_1,x_2))) = f(h(x_1,D_2f(a_1,a_2)[x_2])) = f(x_1,pr_2 \circ f^{-1}(D_2f(a_1,a_2)[x_2])) $.
Wie geht es weiter? Wo ist der Fehler oder was ist die notwendige Idee? Ich dachte darüber nach, die Projektion explizit einzuführen$ pr_2: E_1 \times E_2 \rightarrow E_2 \equiv (\{0\} \times E_2) \subseteq (E_1 \times E_2) $ zu Beginn der Komposition: $ f \circ h \circ g \circ pr_2 $, aber leider ist die Projektion nein $ C^p $-Diffeomorphismus.
Antworten
In diesem Fall ist es viel einfacher, sich zu verlaufen.
Wenn wir den Beweis durchgehen, lassen Sie uns neu definieren $$\varphi:U\to E_1\times F, \quad (x,y)\mapsto (x,f(x,y))$$ Das ist auch ein bisschen anders als das, was Lang darin macht $\varphi$ ist nicht für den gesamten Raum definiert $E_1\times E_2$, schon seit $f$ selbst ist nur in der Nachbarschaft definiert $U$. Diese Bemerkung ist jedoch alles andere als ernst.
Die Ableitung davon ist: $$D\varphi(x,y)\ [w_1,w_2]= \bigg[w_1, D_1f(x,y)\ [w_1] + D_2f(x,y)\ [w_2]\bigg]$$
Dies ist bei invertierbar $(a_1,a_2)$. Sie können wie Lang die Matrixnotation verwenden, um dies zu vereinfachen - beachten Sie, dass für$A, C$ Invertierbar hast du das $$\begin{pmatrix}A&0\\ B& C\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}A^{-1}&0\\ -C^{-1}BA^{-1}& C^{-1}\end{pmatrix}$$
Aus dem Satz der Umkehrfunktion folgt, dass es eine lokale Umkehrung gibt $$h: V_1\times V_2\to E_1\times E_2$$ mit $V_1\subseteq E_1, V_2\subseteq F$ so öffnen $\varphi(a_1,a_2)\in V_1\times V_2$ (und $h(V_1\times V_2)\subseteq U$).
Da es eine lokale Umkehrung ist, haben Sie $\varphi \circ h=\mathrm{id}_{V_1\times V_2}$. Schreiben Sie diese Komposition auf: $$(\varphi\circ h)(x,y)=(h_1(x,y), f(h(x,y)) ) \overset!= (x,y)$$ daher $f(h(x,y)) = y$, was das gewünschte Ergebnis war.
Was ich hier getan habe, war, den Beweis durchzugehen und ihn als Beweis für die Aussage anzupassen, ohne dies anzunehmen $E_2=F$. Nach dem Lesen Ihrer Gedanken denke ich, dass Sie dasselbe tun wollten, aber als Adaption möchten Sie den Isomorphismus einbinden$D_2f(a_1,a_2)$in jeder Phase, in der die Identifizierung erfolgt. Dies ist auch möglich und vielleicht systematischer, aber es ist einfacher, sich zu verlaufen.
Ein dritter Weg, dies zu tun, wäre die Verwendung der tatsächlichen Aussage von Lang, was den Fall bedeutet $E_2=F$und arbeiten Sie nur mit dieser Aussage, um den Fall abzuleiten $E_2\neq F$. Hier müssen wir zuerst die Identifikationen verwenden, um die Situation zu erhalten$E_2=F$Wenden Sie dann den Satz an und verwenden Sie anschließend Identifikationen, um zur Situation zurückzukehren $E_2\neq F$.
In diesem vergeblichen lassen $T:F\to E_2$sei zum Beispiel irgendein Isomorphismus$T=D_2f(a_1,a_2)^{-1}$. Dann wenn $$f:U\to E_1\times F$$ ist eine Karte mit $D_2f(a_1,a_2)$ invertierbar sein $\tilde f:=f\circ (\mathrm{id}_{E_1}, T): E_1\times F\to E_1\times F$. Hier haben wir geändert$f$ Beachten Sie Folgendes, um eine Karte des erforderlichen Formulars zu erhalten $$D_2\tilde f = D_2f(a_1,a_2)\circ T$$ was invertierbar ist - Sie befinden sich also in der Situation des Lemmas, wo $E_2=F$.
Wenden Sie den Satz an: Es gibt a $\tilde h:V_1\times V_2\to E_1\times F$ damit $\tilde f \circ \tilde h$ist eine Projektion auf die zweite Komponente. Aber: $$\tilde f\circ \tilde h = f\circ ( (\mathrm{id}_{E_1},T)\circ \tilde h)$$ Definieren $h:= (\mathrm{id}_{E_1},T)\circ \tilde h$ Dann können Sie das Lemma dort wiederherstellen, wo Sie es gerade haben $E_2\cong F$, anstatt die volle $E_2=F$.