So berechnen Sie die letzte Ziffer von $122^{122}$? [Duplikat]

Dec 21 2020

Ich versuche zu benutzen $$122^{122} = 2^{122} (\mod 10)$$

Aber ich benutze MATLAB das $122^{122}=2 (\mod 10)$ und $2^{122}=4 (\mod 10)$. Warum sind sie nicht gleich? Der Screenshot sieht wie folgt aus:

Antworten

1 SiongThyeGoh Dec 21 2020 at 10:05

Ich habe keinen Zugriff mehr auf Matlab, daher kann ich diesen Fehler nicht genau auf meiner Seite reproduzieren. Ein ähnlicher Fehler wird beobachtet, wenn ich Octave online benutze :

octave:2> mod(122^122, 10)
ans = 0

Sie sollten eine Funktion wie powermod verwenden . Der Trick ist, dass wir nicht berechnen wollen$122^{122}$ ausdrücklich.

Beachte das $122^{122}$ist eine sehr große Zahl und arbeitet mit einem Gleitkomma mit doppelter Genauigkeit, das flintmax überschreitet . Oberhalb dieses Werts hat das Format mit doppelter Genauigkeit keine Ganzzahlgenauigkeit, und nicht alle Ganzzahlen können exakt dargestellt werden.

Die Antwort ist in der Tat $4$.

Hier sind die Python-Ergebnisse:

>>> 122**122 % 10 # cool, it can be computed
4
>>> pow(122, 122, 10) # preferred.
4
1 ChrisCuster Dec 21 2020 at 09:02

Sie können den chinesischen Restsatz verwenden. Schon seit$2$ und $10$ sind nicht relativ prim, Euler ist nicht direkt anwendbar.

$10=2\cdot5$, und $2^{122}\equiv0\bmod2$. Wir bekommen$\varphi (5)=4\implies2^{122}\equiv2^2\equiv4\bmod5$und die Antwort ist $4$.

1 Alearner Dec 21 2020 at 09:28

$122^{122} \equiv 2^{122} (\text{mod $10$})$

Wie, $2^5\equiv 2 (\text{mod $10$})$ $\implies 2^{120}\equiv 2^{24} \equiv 2^{4} (\text{mod $10$})$ $\implies 2^{122} \equiv 2^{6} \equiv 4 (\text{mod $10$})$

1 Piquito Dec 21 2020 at 09:38

Schauen Sie sich das allgemeine Problem an, die letzte Ziffer von zu finden $n^m$.

Nehmen $n=10N+h$ wo $0\le h\le9$ und $m=4M+k$ wo $0\le k\le3$.

Potenz der Ziffern hat eine Periode von $4$ Modulo $10$ der folgende Weg: $$1\to1\to1\to1\\2\to4\to8\to6\\3\to9\to7\to1\\4\to6\to4\to6\\5\to5\to5\to5\\6\to6\to6\to6\\7\to9\to3\to1\\8\to4\to2\to6\\9\to1\to9\to1$$

Beispiel: $797^{723}=(10N+7)^{4\cdot180+3}\equiv7^3\pmod{10}=3\pmod{10}$.

Wenden Sie dies an, um die Antwort auf Ihr Problem zu finden.

Hanx Dec 21 2020 at 09:00

Tatsächlich, $ 122^{122} mod 10 = 4$. Sie sind gleich.