Surjektivität des Grades Homomorphismus
Zu folgender Frage und Diskussion:
Ist der Grad Homomorphismus $\text{deg}: \text{Pic}(X)\to \mathbb{Z}$ surjektiv?
Wir sind uns einig, dass wenn $X$ist eine Kurve über einem algebraisch geschlossenen Feld, lautet die Antwort ja und nicht immer anders. Was ist die Antwort in dem Fall, dass$X$ist eine Kurve über einem trennbar geschlossenen Feld?
Ist dies eine ausreichende Bedingung, damit der Grad des Homomorphismus surjektiv ist?
Antworten
Die Antwort lautet ja, vorausgesetzt, Sie nehmen "Kurve" als "geometrisch reduziert". Jeder geometrisch reduziert$k$-schema vom endlichen Typ hat a $k^s$Punkt durch Satz 3.2.20 von Lius algebraischer Geometrie und arithmetischen Kurven (die Idee des Beweises ist, dass geometrisch reduzierte Mittel$k(X)/k$ist trennbar, und der Ort eines solchen Verhaltens ist offen für Schemata endlichen Typs über einem Feld). Dies beweist Ihren Anspruch, vorausgesetzt, Sie nehmen geometrisch reduziert als Teil Ihrer Definition einer Kurve: Wählen Sie eine reguläre$k^s$ Punkt.
Sie können auch Stacks 04QM für Details zu der obigen Aussage konsultieren .