Teilt sich Aut (G) → Out (G) immer für eine kompakte, verbundene Lie-Gruppe G?

Dec 06 2020

Die äußere Automorphismusgruppe einer topologischen Gruppe $G$ wird durch die kurze exakte Sequenz konstruiert $$ 1\longrightarrow \operatorname{Inn}(G) \longrightarrow \operatorname{Aut}(G) \longrightarrow \operatorname{Out}(G) \longrightarrow 1. $$Diese Sequenz wird nicht immer geteilt, siehe Nicht geteiltes Aut (G)$\to$Raus (G)? , Zum Beispiel für die diskrete Gruppe$G = A_6$.

Ich interessiere mich für den Fall wo $G$ist eine kompakte, verbundene Lie-Gruppe. Teilt sich die Sequenz in diesem Fall immer? (Wenn$G$ hat eine einfache Lie-Algebra $\mathfrak{g}$dann glaube ich die Antwort ist ja .)

Antworten

5 LSpice Dec 06 2020 at 01:54

Ja, $\operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G)$spaltet sich immer. Der Beweis ist genau wie in meiner Antwort auf Ihre Frage. Klassifizierung von (nicht unbedingt verbundenen) kompakten Lie-Gruppen : Betrachten$\operatorname{Aut}(G)$ als Erweiterung von $\operatorname{Inn}(G) = G/\operatorname Z(G)$ von einer diskreten Gruppe $\operatorname{Out}(G)$und heben $\operatorname{Out}(G)$ zu $\operatorname{Aut}(G)$als die Automorphismen, die eine Fixierung im Sinne dieser Antwort bewahren . (Diese werden oft als "Diagrammautomorphismen" bezeichnet.) In dieser anderen Frage haben wir keinen ehrlichen Abschnitt der Komponentengruppe innerhalb der Lie-Gruppe erhalten, da Sie nicht davon ausgegangen sind, dass die Identitätskomponente zentrenlos ist, sondern seit der angrenzenden Gruppe$\operatorname{Inn}(G)$ ist zentrumslos, hier ist alles in Ordnung.