Warum gibt es kein Feld mit einem Element? [Duplikat]

Question

Dies wurde hier gestellt, aber als beantwortet markiert, und ich habe nicht das Gefühl, dass die Frage jemals beantwortet wurde oder mir zumindest nicht klar war.

Ich verstehe nicht, warum die Menge nur aus dem Element besteht $\{0\}$ zusammen mit dem üblichen $+$ und $×$ erfüllt die Kriterien nicht, da $0$ fungiert sowohl als additive als auch als multiplikative Identität.

Das heißt, lassen $G = \{0\}$, dann

• $∀ g ∈ G, 0+g = g$ und

• $∀ g ∈ G, 0·g = g$ (Schon seit $0·0 = 0$ )

In ähnlicher Weise ist es sowohl eine eigene additive als auch eine multiplikative Inverse. Was ist das Problem nur auf Feldebene, ohne dass zusätzliche Eigenschaften für die Kategorietheorie oder die algebraische / arithmetische Geometrie erfüllt werden sollen?

Answer 1

Lassen Sie uns also Folgendes überprüfen: $(F,+,\cdot,0,1)$ ist ein Feld wenn

• $(F,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe
• $(F \setminus \{0\}, \cdot, 1)$ ist eine abelsche Gruppe

Was passiert wenn $0 = 1$ und $F$Enthält der Singleton dieses Element? Dann ist die letztere Eigenschaft nicht erfüllt, z$F \setminus \{ 0 \} = \varnothing$dennoch sind alle Gruppen durch Annahme nicht leer. (Die Axiome der Gruppe implizieren nämlich die Existenz eines Elements darin, des Identitätselements, so dass eine Gruppe immer nicht leer ist.)

Answer 2

Lassen $K := \{0\}$. Dann$K \setminus \{0\}$ kann keine multiplikative Gruppe sein, da darin kein Identitätselement enthalten ist.