Warum ist der Cantor unzählig gesetzt [Duplikat]
Ich habe Probleme zu verstehen, warum das Cantor-Set unzählige Elemente enthält.
Ein Kantorset $C$ist geschlossen. So$[0,1] - C = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} I_n$ist offen und ist zählbare Vereinigung von disjunkten offenen Intervallen. Ich kann weiter davon ausgehen, dass ich das bestellen kann$\{I_n\}$durch ihre linken Endpunkte, da es nur zählbar viele von ihnen gibt. Also dazwischen$I_n=(a_n,b_n)$ und $I_{n+1} = (a_{n+1},b_{n+1})$, Wir müssen haben $a_n < b_n \leq a_{n+1} < b_{n+1}$. Wenn$b_n < a_{n+1}$, dann setzte der Cantor ein $C$ besteht aus einem Intervall, was also ein Widerspruch ist $b_n = a_{n+1}$ für alle $n$und somit kann der Cantor-Satz höchstens zählbar viele Punkte haben.
Antworten
Der Fehler in Ihrer Argumentation ist die Annahme, dass ein zählbarer Satz von Zahlen bestellt werden kann. Betrachten Sie zum Beispiel die Menge der rationalen Zahlen, die zählbar sind, aber nicht geordnet werden können ('Ordnung' bedeutet hier, in einer solchen Reihenfolge aufzulisten, dass$\alpha_1<\alpha_2<\dots$).
Eine einfache Möglichkeit, um festzustellen, dass der Kantorsatz unzählig ist, besteht darin, zu beobachten, dass alle Zahlen dazwischen liegen $0$ und $1$ mit ternärer Expansion nur bestehend aus $0$ und $2$sind Teil des Kantorsatzes. Da es unzählige solcher Sequenzen gibt, ist der Cantor-Satz unzählig.
Ich kann weiter davon ausgehen, dass ich das bestellen kann $\{I_n\}$ durch ihre linken Endpunkte, da es nur zählbar viele von ihnen gibt.
Warum denkst du, dass du es kannst? Betrachten Sie zum Beispiel die zählbar vielen Zahlen$$ \bigl\{\tfrac1n:\ n\in\mathbb N\bigr\}\cup\bigl\{\tfrac12-\tfrac1n:\ n\in\mathbb N\bigr\}. $$ Solange es mehr als einen Akkumulationspunkt gibt, können Sie nicht erwarten, dass diese nach Ganzzahlen indiziert werden.
Ich kann weiter davon ausgehen, dass ich das bestellen kann $\{I_n\}$ durch ihre linken Endpunkte, da es nur zählbar viele von ihnen gibt.
Durch diese Logik sollte es auch möglich sein, die rationalen Zahlen der Reihe nach aufzulisten. Aber das ist absurd.
Ich verfolge Ihr Argument nicht gut genug, um genau zu sehen, wo es schief geht ... Eine Frage, die Sie sich stellen könnten, lautet: "Zeigt dies, dass jeder geschlossene Satz zählbar ist?" Was ist das Besondere an dem hier gesetzten Kantor? Ich sehe es nicht.
Bedenken Sie Folgendes, warum das Kantorset unzählig ist:
Auf jeder endlichen Ebene der Kantorsatzkonstruktion "werfen" wir das mittlere Drittel jedes Stücks aus. Wir müssen also in jeder Phase eine Entscheidung treffen: Gehen wir nach links ? oder gehen wir richtig ?
ZB fangen wir an $[0,1]$. Dann müssen wir uns entscheiden, darauf einzugehen$[0,\frac{1}{3}]$ oder in $[\frac{2}{3},1]$. Nehmen wir an, wir gehen nach links. Jetzt haben wir die Wahl$[0,\frac{1}{9}]$ oder $[\frac{2}{9},\frac{1}{3}]$.
Sie können sehen, dass jede zählbare Folge von Auswahlmöglichkeiten (links oder rechts) einen eindeutigen Punkt des Kantorsatzes ergibt. Darüber hinaus entspricht jeder Punkt des Kantorsatzes einer solchen Folge von Auswahlmöglichkeiten. Also wenn wir schreiben$0$ für "links" und $1$ für "richtig" stehen die Punkte des Kantorsatzes in Bijektion mit den unendlichen Strings von $0$s und $1$s.
Abgesehen vom Spaß stimmt auch die topologische Struktur überein! Deshalb werden Sie oft Leute sehen, die das Kantorset anrufen$2^\omega$. In der satztheoretischen Sprache bedeutet das im Grunde genommen "unendliche Folgen von$0$s und $1$s ".
Ok, aber jetzt muss es unzählige unendliche Folgen von geben $0$s und $1$s durch ein Diagonalisierungsargument . Das Cantor-Set ist also auch unzählig.
Ich hoffe das hilft ^ _ ^