Was bedeutet / enthält dieses Set eigentlich? [Duplikat]

Dec 08 2020

Ich habe Probleme, den folgenden Satz zu verstehen:

$$\mathbb{Z}[\sqrt{2}] := \{ a + \sqrt{2}b : a,b \in \mathbb{Z}\}$$Welche Elemente enthält es tatsächlich? ich dachte$\mathbb{Z}$ enthält nur ganze Zahlen, also was macht die Wurzel von $2$ hinter $\mathbb{Z}$ bedeuten?

Dankeschön.

Antworten

Guenterino Dec 08 2020 at 20:39

Du hast recht: $\mathbb{Z}$enthält nur ganze Zahlen. Die hier angezeigte Menge ist jedoch eine Teilmenge von$\mathbb{R}$ und kann somit enthalten $\sqrt{2}$.

Die Notation besagt, dass sie alle Elemente des Formulars enthält $a+\sqrt{2}b$, wo $a$ und $b$sind ganze Zahlen. Lassen Sie mich einige Beispiele nennen:

$a=b=1$: Dann $a+\sqrt{2}b = 1+\sqrt{2}$.

$a=b=0$: Dann $a+\sqrt{2}b = 0$.

$a=3, b=-2$: Dann $a+\sqrt{2}b = 3-2\sqrt{2}$.

$b = 0$: Dann $a+\sqrt{2}b = a$und aus diesem Grund ist jede ganze Zahl in Ihrer Menge. Aber wie Sie gesehen haben, mögen auch Nicht-Ganzzahlen$1+\sqrt{2}$ kann Teil dieses Sets sein.

Ich hoffe, das hilft, die Dinge ein bisschen aufzuklären.