Was ist intuitiv die allgemeine Überlappung / Differenz zwischen konformen und orthogonalen Transformationen oder den Begriffen im Allgemeinen?
Ich hatte Schwierigkeiten, eine klare Definition der Unterschiede zwischen den beiden in praktischer / geometrischer Hinsicht zu finden. Orthogonale Transformationen sind solche, bei denen die Koordinatenoberflächen oder Trajektorien im rechten Winkel aufeinander treffen, und konforme Transformationen sind solche, bei denen Winkel erhalten bleiben.
Ich kann sehen, wie sich die Begriffe überschneiden, und habe eine vage Vorstellung davon, wie sie sich unterscheiden, aber ich habe Probleme, ihre genaue Unterscheidung zu klären, insbesondere im Zusammenhang mit der Differential- / Vektorrechnung in Bezug auf Konzepte wie den Jacobi und seine flächenerhaltenden Eigenschaften , Differentialgleichungen für orthogonale Trajektorien, integrale Transformationen usw.
Oder direkter ausgedrückt, wann ist etwas orthogonal, aber nicht konform und umgekehrt, und wann sind beide?
Antworten
Eine konforme lineare Karte ist die Zusammensetzung einer Homothetik (Dehnung) und einer orthogonalen linearen Karte.
Der wichtigste Teil der Intuition ist folgender: Spezielle orthogonale Transformationen sind Rotationen. Orthogonale Transformationen sind Rotationen plus Reflexionen. Konforme Transformationen sind Rotationen plus Dilatationen. Konforme und antikonformale Transformationen sind Rotationen plus Dilatationen plus Reflexionen.
Mathematisch bedeutet dies: Orthogonale Transformationen erhalten das Skalarprodukt. Spezielle orthogonale Transformationen bewahren auch die Orientierung (positive Determinante). Konforme und antikonformale Transformationen bewahren Winkel. Konforme Transformationen bewahren auch die Orientierung (positive Determinante). Genauer gesagt, orthogonale Transformationen$T$ erfüllen
$$\langle Tv,Tw\rangle=\langle v,w\rangle,$$
während spezielle orthogonale Transformationen zusätzlich befriedigen
$$\det T>0.$$
Es kann sogar gezeigt werden, dass orthogonale Transformationen bereits erfüllen $\det T=\pm1$machen $\det T=1$für spezielle orthogonale Transformationen. Konforme und antikonformale Transformationen$S$ erfüllen
$$\frac{\langle Sv,Sw\rangle}{\Vert Sv\Vert\Vert Sw\Vert}=\frac{\langle v,w\rangle}{\Vert v\Vert\Vert w\Vert},$$
(zum $v,w\neq0$) während konforme Karten zusätzlich erfüllen $\det S>0$. Es kann gezeigt werden, dass dies die (anti) konformen Transformationen gleich orthogonalen Abbildungen multipliziert mit einer Konstante ungleich Null macht. (Anti) konforme Transformationen sind somit orthogonale Transformationen mit einer zusätzlichen Dilatation. Wenn wir die verschiedenen Gruppen aufrufen, die diese Transformationen enthalten$\operatorname{O},\operatorname{SO}$ (orthogonal und speziell orthogonal), $\operatorname{CO}$ (konform plus antikonformal) und $\operatorname{CSO}$ (nur konform), dann haben wir folgende Beziehungen:
$$ \operatorname{SO}\subsetneq\operatorname{O}\subsetneq\operatorname{CO}\\ \operatorname{SO}\subsetneq\operatorname{CSO}\subsetneq\operatorname{CO}\\ \operatorname{CO}=I\cdot\operatorname{O}\\ \operatorname{CSO}=I\cdot\operatorname{SO},$$
wo $I$ ist die Gruppe der Dilatationen.