Was sind einige der frühesten Beispiele für analytische Fortsetzung?

Question

Ich frage mich, woher Riemann das wusste $\zeta(z)$könnte auf eine größere Domain erweitert werden. Insbesondere wer war die erste Person, die den Bereich einer komplex bewerteten Funktion explizit erweitert hat, und welche Funktion hatte sie?

Answer 1

(Erweitert 26.01.21

Lassen Sie mich zunächst für nicht-englische Muttersprachler darauf hinweisen, dass die Verwendung des Artikels 'a' in der Phrase 'eine Funktion mit komplexem Wert' bedeutet, dass sich die Frage nicht nur auf das Riemann oder eine andere Zeta-Funktion bezieht. Es enthält jede Funktion, deren Domäne eine Menge der Real ist, daher interpretiere ich die Frage als "Wer ist der erste, der eine Erweiterung der Domäne einer signifikanten Funktion von einer Menge der Real zu einer kontinuierlichen Domäne des Komplexes veröffentlicht hat?" und was war das für eine Funktion? " Für mich ist die genaue Bedeutung des Begriffs analytische Fortsetzung und ob er einzigartig ist oder nicht, eine andere Frage.

Der erste Satz und einige der Kommentare konzentrieren sich auf die Riemannsche Zeta-Funktion. Riemann stand nicht allein und seine Interessen waren viel breiter, als es der manchmal fast obsessive Fokus heute auf die RH implizieren könnte. Seine Interessen umfassten so ziemlich die gesamte komplexe Analyse, daher war es für ihn selbstverständlich, Erweiterungen realer Funktionen auf komplexe Funktionen in Betracht zu ziehen.

Kaum zu glauben, dass kein Mathematiker vor Euler eines Morgens aufwachte und dachte: "Was ist, wenn ich meine realen Formeln so ändere, dass sie diese verrückte Quadratwurzel von -1 enthalten?" Roger Cotes war darauf vorbereitet, dies mit seinem Interesse an Astronomie und Himmelsmechanik sinnvoll zu tun. Vertrautheit mit der Arbeit seines Kollegen Newton an den Serienwiederholungen der Triggerfunktionen, ihrer Inversen, des Kalküls und der Newtonschen Mechanik; Verwendung der logarithmischen Tabellen, die Napier Anfang des 17. Jahrhunderts eingeführt hatte, um Berechnungen mit großen Zahlen durchzuführen, die bei der Vermessung der Erde und des Himmels auftreten; und arbeiten an der Interpolation (Cotes und Newton).

Lassen Sie mich noch einmal betonen, dass Cotes mit Newtons kompositorischer Inversion von Potenzreihen vertraut war (eine Formel enthält die Assoziaederversion der Lagrange-Inversionsformel für formale Reihen, siehe Ferraro unten), einschließlich der für die Exponentialfunktion, und, wie von Griffiths 'bemerkt. Kommentar zum Beitrag " Die Herstellung des Logarithmus " von Freiberger: Ohne diese Logarithmentabellen gäbe es von Nicholas Mercator keine Theorie über die Fläche unter einer symmetrischen Hyperbel, die dem Logarithmus der Entfernung entlang der x-Achse oder der Umkehrung von Isaac Newton entspricht der Hyperbelformel, um die unendliche Reihe für den Antilogarithmus zu erreichen $e^x$. (Mercator-Karten, die beginnen, die Punkte zu sehen?) Tatsächlich diskutiert Ferraro auf den Seiten 74 und 75 von "Der Aufstieg und die Entwicklung der Theorie der Reihen bis in die frühen 1820er Jahre", wie Newton die Potenzreihen für den Logarithmus invertierte$-\ln(1-x)$ um die Potenzreihen des Antilogarithmus zu erhalten $1- e^{-x}$. (Newton mit seiner hervorragenden Beherrschung der Geometrie und Analyse hätte sicherlich auch hier die einfache Beziehung des Satzes der inversen Funktion zwischen den Ableitungen der beiden Reihen bemerkt.)

Folglich scheint es natürlich, dass Cotes bei der Geburt des Kalküls und seiner Assoziation mit Potenzreihen und kompositorischen Umkehrungen 1714 niederschrieb, als Euler sieben Jahre alt war.

$$ ix = \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]$$

eine aufkommende Version von Eulers fabelhafter Formel von 1748 (vgl. Wikipedia )

$$ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta).$$

Eine offensichtliche Überprüfung mit der Ableitung (oder den Flüssen) verifiziert die Formel ohne explizite Verwendung des Exponentials

$$ \frac{d}{dx} (ix +constant) = i = \frac{d}{dx} \; \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]= \frac{-\sin(x) + i \cos(x)}{\cos(x) + i \sin(x)},$$

Ich bin mir sicher, dass dies SOP für Newton und Cotes war - Anwendung der Kettenregel, in diesem Fall auch als inverser Funktionssatz bezeichnet. $dx = df(f^{-1}(x)) = f'(f^{-1}(x)) \; (f^{-1})'(x) \; dx$, was in der Tat die Formel offensichtlich macht.

In "Die Geschichte der exponentiellen und logarithmischen Konzepte" erklärt Cajori, wie John Bernoulli die Lösungen einer Differentialgleichung betrachtete, die 1702 vom Realen zum Imaginären transformiert wurde, und leitet Cotes 'Ableitung seiner Formel ab, die Cotes 1714 und 1722 veröffentlichte. Cajori behauptet auch, dass Euler später nicht davor zurückschreckte, imaginäre Zahlen zu verwenden.

Eulers Formel, wie sie heute geschrieben wurde, musste auf die Entwicklung der symbolischen Wiederholung der Exponentialfunktion durch Euler und Kollegen warten $\exp(z) = e^z$ mit $e$Eulers Konstante, manchmal auch als Napier-Konstante bezeichnet, da sie in Napiers Protokolltabellen vorkommt. Dies geschah, nachdem Huygens und andere viel Kalkül, das dem Protokoll zugrunde lag, erklärt hatten. Die Exponentialfunktion wurde manchmal sogar als "Antilogarithmus" bezeichnet, was die Priorität des Protokolls widerspiegelt, wie im Protokollbeitrag angegeben.

Die logarithmische Formel von Cote ist eine Erweiterung von den positiven Realzahlen auf den Bereich komplexer Zahlen des Logarithmusarguments auf eine schwierigere Weise als nur durch Ersetzen $n$ in der Serie rep von $\zeta(n)$ durch reelle Zahlen auf der reellen Linie und dann zu anderen Zahlen in der komplexen Ebene.

Laut dem Wikipedia-Artikel über Cotes veröffentlichte er 1722 einen wichtigen Satz über die Wurzeln der Einheit (und gab erstmals den Wert eines Bogenmaßes an) in "Theoremata tum logometrica tum triogonometrica datarum Fluxionum Fluentes Exhibentia, per methodum mensurarum ulterius extensam" "(Theoreme, einige logorithmisch, einige trigonometrisch, die die Fließgewichte gegebener Flüsse durch die weiter entwickelte Methode der Maßnahmen ergeben). Er verstand trig ziemlich gut, und aus dieser Perspektive können sowohl Cotes als auch Eulers Formeln als Fortsetzung der Lösungen von angesehen werden$|x| = 1$in die komplexe Ebene. Die Lösungen definieren die sehr einfache Funktion mit Domäne 1 und -1 und Bereich 1, die dann analytisch als Kreis mit Radius 1 in der komplexen Domäne fortgesetzt wird - eine Art Interpolation (Bewegen Sie den Mauszeiger über den Interpolationslink im Wiki von Roger Cotes) ) eine einfache Funktionsgleichung erfüllen$|f(x)|=1$. (Weitere Beispiele für Arten der Interpolation / analytischen Fortsetzung von Funktionen mit diskreten ganzzahligen Domänen zu Funktionen mit kontinuierlichen komplexen Domänen (im Zusammenhang mit Newton- und Sinus- / Kardinalreiheninterpolationen) sind in diesem MO-Q und diesem MSE-Q angegeben .)

Aus einer breiteren Perspektive ist die Protokollformel von Cotes ein klares Beispiel für die analytische Fortsetzung des Protokolls als Abbildung von den reellen Zahlen auf die reellen Zahlen auf eine Abbildung des Komplexes auf den Komplex. Cotes war sich natürlich bewusst, dass (tatsächlich verwendet, und hätte vorausgesetzt, dass jeder, der mit dem Protokoll vertraut ist, es auch wusste), z$u,v > 0$,

$$\ln(u)+\ln(v) = \ln(uv),$$

Deshalb schrieb er den schwierigsten Teil der analytischen Fortsetzung des Protokolls von den positiven Reals bis zum Komplex auf (wenn auch nicht explizit für die Multiplizität).

$$\ln(r) + ix = \ln[\; r\; (\;\cos(x) + i \; \sin(x)\;) \;].$$

Refs in Wikipedia: John Napier , Die Geschichte der Logarithmen , Logarithmus , Roger Cotes , Eulers Identität , Eulers Formel .

Zusätzlich zur Euler-Summation mit komplexen Argumenten erweiterte Euler als erster die Fakultät auf die Gammafunktion für komplexe Argumente, um mit seinem hybriden Mellin-Laplace-Integral-Repräsentanten für die Gammafunktion einen Bruchkalkül zu entwickeln (siehe " Das Euler-Erbe der modernen Physik" "von Dattoli und Del Franco und der oben erwähnten MSE-Q). Das Euler-Integral für die Beta-Funktion ermöglicht dasselbe für die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten, die Newton (wiederum Kollege von Cotes) für die Erweiterung der ganzzahligen Binomialkoeffizienten auf die Realzahlen durchgeführt hatte. Leider verstand Euler die Ausdehnung auf komplexe Zahlen nicht vollständig (Argand und Wessel kommen später), sonst hätte er Cauchy, Liouville und Riemann auf den Kalkül der komplexen Analyse geschöpft.

Eine Vorgeschichte der Riemannschen Zeta-Funktion finden Sie unter " Aspekte der Zeta-Funktionstheorie in den mathematischen Werken von Adolf Hurwitz " von Oswald und Steuding. Die Autoren sagen in ihrer Diskussion über die Vorgeschichte von Zeta nicht, ob 's' real oder komplex ist. Es wäre für Euler und andere vor Riemann selbstverständlich gewesen, darüber nachzudenken$s$Komplex. Euler hatte die Assoziation zu pi-Potenzen für sogar ganzzahlige Argumente von Zeta, die eine Verbindung zum Komplex sowohl über seine fabelhafte Formel als auch über seine Reflexionsformel für die Gammafunktion nahegelegt hätten, aber ohne Riemanns hatte er aus dieser Perspektive nicht viel zu lernen Mellin transform rep. durch die Riemann als erster wirklich neue Eigenschaften von Zeta herausgearbeitet hat, Eulers Reflexionsformel angewendet hat, um die Hankel-Kontur-Fortsetzung von Zeta von der rechten Halbebene zur vollkomplexen Ebene zu erhalten, und einen cleveren Algorithmus zur Bestimmung des Nicht entwickelt hat -triviale Nullen, unter anderem Entwicklungen.

Ein roter Hering scheint eine kurzsichtige Anstrengung zu sein, um eine künstliche Zweiteilung zwischen Interpolation und analytischer Fortsetzung zu erzwingen. Ich benutze das Interesse und die Fähigkeit von Cotes (und Newton) bei der Interpolation im realen Bereich (sicherlich im Zusammenhang mit der Annäherung an Himmelsbahnen), um anzuzeigen, dass er für analytische Fortsetzungen prädisponiert war. Darüber hinaus gibt es keine Dichotomie. In mehreren MO- und MSE-Fragen zeige ich, wie die Interpolation mit der analytischen Fortsetzung der Fakultät zur Gammafunktion, den Bernoulli-Zahlen zum Riemann-Zeta, den Bernoulli-Polynomen zum Hurwitz-Zeta und der klassischen Berechnung der ganzzahligen Potenzen des Derivats zusammenhängt op zu komplexen nicht ganzzahligen Werten, unter anderen Interpolationen / ACs (z. B. beginnen bei diesem MO-Q oder diesem MO-Q ). Diese können mit Interpolationen der Sinusfunktion / Kardinalreihe, Binomialexpansionsinterpolation und / oder Newton-Interpolation und wahrscheinlich anderen (z. B. diesem MO-Q ) zusammenhängen. Einige komplexere Assoziationen beziehen sich auf Mahlers Theorem und den Verweis in der Antwort auf dieses MO-Q . Ein Aspekt von Riemanns Gaben war seine Einsicht, wie dies mit der Mellin-Transformation zusammenhängt.

(Informationen zur Barrierefreiheit finden Sie unter Khaneman und Tversky.)