Welche Art von stochastischem Prozess befriedigen $Var[X_t]Var[X_s] = Cov[X_t,X_s]$ für alle $t,s \in \mathbb R^+$?

Question

Lassen $X=(X_t)_{t\in \mathbb R^+}$ Bohne $L^2$stochastischer Prozess. Worüber steht es?$X$ wenn $Var[X_t]Var[X_s] = Cov[X_t,X_s]$ für alle $t,s \in \mathbb R^+$? Worüber steht es?$X$ wenn $Var[X_t]Var[X_s] \neq Cov[X_t,X_s]$ für alle $t,s \in \mathbb R^+$ ?

Gibt es eine spezielle Klasse von Prozessen, die eine der oben genannten Anforderungen erfüllen?

Jetzt wiederholen wir die gleichen Fragen, aber wir nehmen das an $X$ist ein Gaußscher Prozess. Lernen wir etwas Neues?

Answer 1

Mit $s=t$ die Bedingung ist $$Var(X_s)=Var(X_s)^2,$$ welche Kräfte, das $Var(X_s)=1$ für alle $s$. Und somit $$Cov(X_s,X_t) = 1^2 = \sqrt{Var(X_s)}\sqrt{Var(X_t)},$$ was impliziert, dass die Korrelation zwischen $X_s$ und $X_t$ ist $1$ für alle $s$ und $t$, und deshalb $X_t$ ist fast sicher eine lineare Funktion von $X_s$, das ist $$X_t = aX_s + b$$ für einige $a$ und $b$. Aus der Kovarianzbedingung geht hervor, dass$a=1$ und wir können das sehen $b=\mathbb{E}[X_t - X_s]$. So können wir schreiben $$X_t = X_0 + f(t),$$ wo $f(t)$ ist die deterministische Funktion $f(t)=\mathbb{E}[X_t-X_0]$. Auch alle Prozesse definiert als$X_t := X_0 + f(t)$ mit $Var(X_0)=1$ und $f$ Eine beliebige Funktion erfüllt die gegebene Bedingung.