Welche Beziehung besteht zwischen dem ersten HK-Theorem und dem zweiten HK-Theorem?
Der erste Satz von Hohenberg-Kohn (HK) : Das externe Potential$v(\vec{r})$wird innerhalb einer trivialen additiven Konstante durch die Elektronendichte im Grundzustand bestimmt$\rho(\vec{r})$.
Aus der grundlegenden Quantenmechanik wissen wir, dass:$v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0\rightarrow \rho$. Nach dem ersten HK-Theorem können wir das weiter wissen$\rho \rightarrow v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0,\psi_1,\cdots$. Im Wesentlichen beweist das erste HK-Theorem eine Eins-zu-Eins-Abbildung zwischen den externen Potentialen und den Grundzustandsdichten$\rho$in Vielelektronensystemen.
Der zweite HK-Satz : Es gibt ein universelles Funktional der Dichte,$F_{HK}[\rho']$, so dass für alle$N$- darstellbare Dichte ($\textit{i.e.}$, jede Dichte, die von einer Wellenfunktion für an stammt$N$-Elektronensystem)$\rho(\vec{r})$, die eine bestimmte Anzahl von Elektronen liefert$N$, das Energiefunktional ist$$E[\rho'] = F_{HK}[\rho']+\int \rho'(\vec{r})v(\vec{r}) d\vec{r} \geq E_g \tag{1} $$in welchem$E_g$die Grundzustandsenergie ist und die Gleichheit gilt, wenn die Dichte$\rho'(\vec{r})$ist die möglicherweise entartete Grundzustandsdichte$\rho_0'(\vec{r})$für das externe Potential$v(\vec{r})$.
Aus den beiden Aussagen kann ich keinen Zusammenhang zwischen den beiden Theoremen erkennen. Was ist also die Beziehung zwischen den beiden Theoremen? Wenn$F_{HK}(\rho')$das Funktional der Grundzustandsdichte ist, kann ich eine Verbindung zwischen den beiden Sätzen herstellen. Aber die Dichte in$F_{HK}[\rho]$ist nicht notwendig Grundzustandsdichte.
- Zum ersten HK-Theorem:http://unige.ch/sciences/chifi/wesolowski/public_html/dft_epfl_2016/part_I/dftepfl_part_II.pdf
- Zum zweiten HK-Theorem:https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128136515000048?via%3Dihub
Antworten
Unter Verwendung Ihrer Notation lautet die Definition für das universelle Funktional
$$ F_{HK}[\rho] = \left< \psi_0[\rho] \right| \hat{T} + \hat{W} \left| \psi_0[\rho] \right>, $$
wo$\hat{T}$und$\hat{W}$sind kinetische bzw. Elektron-Elektron-Wechselwirkungsoperatoren. Diese Definition ist aufgrund der Eins-zu-eins-Abbildung zwischen Dichten und ihren entsprechenden Grundzustands-Wellenfunktionen möglich (d. h. weil$\psi_0$ist eine Funktion von$\rho$), was meiner Meinung nach die Verbindung ist, die Sie suchen.
Ein formaler Zusammenhang besteht darin, dass der erste Satz im Beweis des zweiten verwendet wird. Tatsächlich ist das zweite eine Übersetzung des Prinzips that$E[\Psi']$hat ein Minimum bei der richtigen Grundzustandswellenfunktion$\Psi$, unter Verwendung der Eins-zu-Eins-Korrespondenz$\rho \leftrightarrow \Psi$aus dem ersten Satz bekannt.
Die Herleitung findet sich in der Originalarbeit von Kohn und Hohenberg (Teil I-2.). Es ist ziemlich kurz und leicht zu lesen, also ist es einen Blick wert.