Welche Beziehung besteht zwischen dem ersten HK-Theorem und dem zweiten HK-Theorem?

Jan 20 2021

Der erste Satz von Hohenberg-Kohn (HK) : Das externe Potential$v(\vec{r})$wird innerhalb einer trivialen additiven Konstante durch die Elektronendichte im Grundzustand bestimmt$\rho(\vec{r})$.

Aus der grundlegenden Quantenmechanik wissen wir, dass:$v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0\rightarrow \rho$. Nach dem ersten HK-Theorem können wir das weiter wissen$\rho \rightarrow v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0,\psi_1,\cdots$. Im Wesentlichen beweist das erste HK-Theorem eine Eins-zu-Eins-Abbildung zwischen den externen Potentialen und den Grundzustandsdichten$\rho$in Vielelektronensystemen.

Der zweite HK-Satz : Es gibt ein universelles Funktional der Dichte,$F_{HK}[\rho']$, so dass für alle$N$- darstellbare Dichte ($\textit{i.e.}$, jede Dichte, die von einer Wellenfunktion für an stammt$N$-Elektronensystem)$\rho(\vec{r})$, die eine bestimmte Anzahl von Elektronen liefert$N$, das Energiefunktional ist$$E[\rho'] = F_{HK}[\rho']+\int \rho'(\vec{r})v(\vec{r}) d\vec{r} \geq E_g \tag{1} $$in welchem$E_g$die Grundzustandsenergie ist und die Gleichheit gilt, wenn die Dichte$\rho'(\vec{r})$ist die möglicherweise entartete Grundzustandsdichte$\rho_0'(\vec{r})$für das externe Potential$v(\vec{r})$.

Aus den beiden Aussagen kann ich keinen Zusammenhang zwischen den beiden Theoremen erkennen. Was ist also die Beziehung zwischen den beiden Theoremen? Wenn$F_{HK}(\rho')$das Funktional der Grundzustandsdichte ist, kann ich eine Verbindung zwischen den beiden Sätzen herstellen. Aber die Dichte in$F_{HK}[\rho]$ist nicht notwendig Grundzustandsdichte.

  • Zum ersten HK-Theorem:http://unige.ch/sciences/chifi/wesolowski/public_html/dft_epfl_2016/part_I/dftepfl_part_II.pdf
  • Zum zweiten HK-Theorem:https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128136515000048?via%3Dihub

Antworten

11 wcw Jan 20 2021 at 23:03

Unter Verwendung Ihrer Notation lautet die Definition für das universelle Funktional

$$ F_{HK}[\rho] = \left< \psi_0[\rho] \right| \hat{T} + \hat{W} \left| \psi_0[\rho] \right>, $$

wo$\hat{T}$und$\hat{W}$sind kinetische bzw. Elektron-Elektron-Wechselwirkungsoperatoren. Diese Definition ist aufgrund der Eins-zu-eins-Abbildung zwischen Dichten und ihren entsprechenden Grundzustands-Wellenfunktionen möglich (d. h. weil$\psi_0$ist eine Funktion von$\rho$), was meiner Meinung nach die Verbindung ist, die Sie suchen.

6 Hebo Jan 20 2021 at 23:00

Ein formaler Zusammenhang besteht darin, dass der erste Satz im Beweis des zweiten verwendet wird. Tatsächlich ist das zweite eine Übersetzung des Prinzips that$E[\Psi']$hat ein Minimum bei der richtigen Grundzustandswellenfunktion$\Psi$, unter Verwendung der Eins-zu-Eins-Korrespondenz$\rho \leftrightarrow \Psi$aus dem ersten Satz bekannt.

Die Herleitung findet sich in der Originalarbeit von Kohn und Hohenberg (Teil I-2.). Es ist ziemlich kurz und leicht zu lesen, also ist es einen Blick wert.