Wenn $f$ ist eine echte Funktion, kontinuierlich bei $a$ und $f(a) < M$dann gibt es ein offenes Intervall $I$ mit einem solchen, dass $f(x) < M$ für alle $x \in I$.

Question

Ich habe ein Problem bezüglich der Wenn f eine reelle Funktion ist, stetig bei a und f (a) Antwort. Wenn ich verwendet habe$\epsilon =M-f(a)$ was auch ist $\epsilon >0$ und $ \exists$ $ \delta>0$ Es gibt also ein offenes Intervall $I$ mit solchen, dass $f(x)<M$ für alle $x \in I$. Ich denke das ist auch richtig aber nicht sicher.

Kann jemand meine Antwort überprüfen?

$\underline{Edit}$

Nun lass $\epsilon = {M-f(a)}$, deutlich $\epsilon >0$und daher existiert ein offenes Intervall $I=(a-\delta, a+\delta)$, so dass für jeden $x\in I$, $|f(x)-f(a)|<\epsilon= {M-f(a)}$ hält.

Es folgt dem $f(x)<M$ für alle $x \in I$

Answer 1

Die Bedingung, dass $f$ ist kontinuierlich bei $a$gibt an, dass \ begin {Gleichung} \ lim_ {x \ zu a} f \ left (x \ right) = f \ left (a \ right). \ end {Gleichung} Mit anderen Worten, wir haben den folgenden Satz: \ begin {Gleichung} \ forall \ epsilon> 0, \ existiert \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ left (a \ right) \ rvert <\ epsilon. \ end {Gleichung} Und wir haben den Satz, dass \ begin {Gleichung} f \ left (a \ right) <M. \ end {Gleichung} unter Verwendung der Tatsache, dass$M - f\left(a\right) > 0$, wir haben \ begin {Gleichung} \ existiert \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ left (a \ right) \ rvert <M - f \ links (a \ rechts), \ end {Gleichung}, was weiter anzeigt, dass \ begin {Gleichung} \ existiert \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow f \ left (x \ right) <M. \ label {main} \ end {Gleichung} Wenn es kein solches offenes Intervall gibt$I$ Das $f\left(x\right) < M$ für alle $x \in I$, dann haben wir den folgenden Satz: \ begin {Gleichung} \ forall \ delta> 0, \ existiert x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ wedge f \ left (x \ right) \ geq M, \ label {sub} \ end {Gleichung}, was offensichtlich unserer Schlussfolgerung widerspricht.