Wie interpretiert man die Quadratwurzel des inneren Produkts über ein beliebiges Feld?
In einem inneren Produktraum die Norm $\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}$induziert wird. Mir ist klar, dass ich mich fast immer mit reellen oder komplexen Zahlen befasst habe, also habe ich die Quadratwurzel für selbstverständlich gehalten.
Lesen des Eintrags zum inneren Produkt auf Wolfram (https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html) heißt es: " Ein Vektorraum zusammen mit einem inneren Produkt wird als innerer Produktraum bezeichnet. Diese Definition gilt auch für einen abstrakten Vektorraum über einem beliebigen Feld. " Dies wurde gesagt, nachdem die Axiome im Kontext eines Raums über eingeführt wurden$\mathbb{R}$.
Ich bin verwirrt, weil ich nicht weiß, wie ich die Quadratwurzel in einem beliebigen Feld interpretieren soll. Ich gehe davon aus, dass der offensichtliche Weg darin besteht, es als das Element zu definieren$a \in \mathbb{F}$ so dass $a^2 = \langle x,x\rangle$. Aber das Problem, das ich habe, ist, wie wir überhaupt wissen, ob ein solches Element auf dem Gebiet existiert? Ist dies ein Standardergebnis der Ringtheorie?
Mein Verständnis war immer, dass innere Produkträume (und normierte Räume) nur über die reellen oder komplexen Zahlen definiert werden. Wie konstruieren Sie sie (oder etwas Äquivalentes) über ein beliebiges Feld?
Antworten
Die Behauptung macht keinen Sinn. Auf Vektorräumen$V$ über ein beliebiges Feld $k$ Wir haben bilineare Formen $b(x,y)$. Wann$k=\Bbb{C}$ Wir betrachten auch sesquilineare Formen, was bedeutet, dass das zweite Argument nach Anwendung eines Automorphismus linear ist $\sigma$des Feldes (die komplexe Konjugaison). Aber dann können wir überlegen$V$ Als ein $k^\sigma$ Vektorraum, um es linear zu machen, also nehmen Sie das an $b$ ist wirklich linear.
$q(x) = b(x,x)$ ist eine quadratische Form.
Eine erste wünschenswerte Eigenschaft ist die $b(x,y)=b(y,x)$ (wann $char(k)\ne 2$ es gibt eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen quadratischen Formen und symmetrischen bilinearen Formen).
Ein zweiter ist das $q(x)=0$ iff $x=0$. In diesem Fall$q$ wird als anisotrop bezeichnet.
Wann $k$ ist ein geordnetes Feld, es gibt ein drittes: das $\forall x,q(x)\ge 0$. Bei den vorherigen ist dies die Definition von "$b$ ist ein inneres Produkt ". Wenn es dann der Fall ist $\|x\|=\sqrt{q(x)}$ ist eine Art Norm (wenn $k$ ist kein Unterfeld von $\Bbb{R}$ dann $\|x\|$ist nicht wirklich bewertet, also ist das ein bisschen anders). Glaubst du, wir haben es immer getan?$\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|$ ?
$\sqrt{q(x)}$ ist ein Element der algebraischen Erweiterung von $k$ erhalten durch Hinzufügen aller Quadratwurzeln von Elementen $\ge 0$wird auch durch bestellt $\sqrt{a}\ge \sqrt{b}$ iff $a\ge b$und dann das Ordnungsgesetz anwenden.
Beachten Sie, dass real bewertete Normen beispielsweise in anderen Bereichen existieren $\|x\| = 0$ wenn $x_1=x_2=0$ und $=1$ Ansonsten ist eine realwertige Norm vorbei $k^2$ für jedes Feld eine Norm für den trivialen Absolutwert $|a|_{tr}= 0$ wenn $a=0$ und $=1$ sonst so, dass $\|ax\|=|a|_{tr} \|x\|$.