Wie man die Reihenfolge der Gruppe der starren Bewegungen platonischer Festkörper in findet $\mathbb{R}^3$?
Das Folgende erscheint als Übung in Dummit und Footes Algebra (Abschnitt $1.2$ - Diedergruppen):
- Lassen $G$ sei die Gruppe der starren Bewegungen in $\mathbb{R}^3$eines Tetraeders. Zeige, dass$|G| = 12$
- Lassen $G$ sei die Gruppe der starren Bewegungen in $\mathbb{R}^3$eines Würfels. Zeige, dass$|G| = 24$
- Lassen $G$ sei die Gruppe der starren Bewegungen in $\mathbb{R}^3$eines Oktaeders. Zeige, dass$|G| = 24$
- Lassen $G$ sei die Gruppe der starren Bewegungen in $\mathbb{R}^3$eines Dodekaeders. Zeige, dass$|G| = 60$
- Lassen $G$ sei die Gruppe der starren Bewegungen in $\mathbb{R}^3$eines Ikosaeders. Zeige, dass$|G| = 60$
Aus dieser Antwort ging hervor, dass starre Bewegungen orientierungserhaltende Isometrien sind, dh Reflexionen sind nicht zulässig.
Für ein Tetraeder dachte ich an Symmetrieachsen, die durch einen Scheitelpunkt und den Schwerpunkt der gegenüberliegenden Fläche verlaufen. Es gibt vier solcher Achsen (nennen wir sie$A,B,C,D$). Entlang jeder Achse können wir definieren$1_i, r_i, r_i^2$ als drei Umdrehungen mit $r_i^3= 1$, das Identitätselement ($i=A,B,C,D$). Da es vier solcher Achsen gibt,$|G| = 3\times 4 = 12$. Ist das in Ordnung oder fehlt mir etwas? Ich bin etwas besorgt darüber$1_A,1_B,1_C,1_D$ können alle möglicherweise gleich sein (da es sich um Identitätstransformationen handelt) und dass ich überzähle?
Kleine Frage (Umweg): Sind Identitätstransformationen, die verschiedenen Achsen entsprechen, unterschiedlich oder gleich?
Für den Würfel habe ich folgendes gemacht:
- Für jedes Paar gegenüberliegender Flächen haben wir eine Symmetrieachse. Es gibt$3$ solche Paare daher $3$ solche Achsen (sagen wir $A,B,C,D$). Über jede Achse definieren wir$1,r_i,r_i^2,r_i^3$ mit $r_i^4 = 1$ wo $i=A,B,C,D$.
- Es gibt vier Körperdiagonalen (sagen wir) $E,F,G,H$) und um jede Diagonale (Symmetrieachse) definieren wir $1,r_j,r_j^2$ mit $r_j^3= 1$ wo $j=E,F,G,H$.
In Anbetracht der obigen Berechnungen haben wir $|G| = 3\times 4 + 4\times 3 = 24$.
Die Verwendung dieser Methode wird im Folgenden für größere Feststoffe schwierig . Es ist nicht einfach, alle Symmetrieachsen von Hand zu identifizieren. Darüber hinaus ist die einzige Gruppe, die ich an dieser Stelle ausführlich kennengelernt habe, die$D_{2n}$Geben Sie daher bitte keine Lösungen wie "die erforderliche Gruppe" an$G$ ist isomorph zu einer bekannten und gut untersuchten Gruppe $X$und wir wissen $|X| = ?$ so $|G| = ?$""
Ich denke , es läuft darauf hinaus, eine gute Möglichkeit , um mit zählen alle den unterschiedlichen starren Bewegungen. Könnte mir jemand dabei helfen?
Ich kam in James Ha Lösungen hier , aber ich verstehe nicht, wie die in der PDF präsentierten Lösungen sind gleichwertig zu Mine selbst für die Tetraeders und Würfel Fälle. Es wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte, die Äquivalenz zu erkennen und mir auch zu sagen, wie ich mit den anderen platonischen Festkörpern vorgehen soll! Vielen Dank!
Antworten
So fügen Sie vorhandene Antworten und zusätzliche Kommentare hinzu:
Wie orangeskid erwähnt, können Sie die Größe der Symmetriegruppe aus der Anzahl der Transformationen zwischen zwei Kanten ableiten. Hier ist eine Möglichkeit, dies klarer zu sehen:
Betrachten Sie gerichtete Kanten auf dem Polyeder, die aus einem Scheitelpunkt und einer von diesem Scheitelpunkt ausgehenden Kante bestehen (oder äquivalent zu einer Kante, bei der einer ihrer Endpunkte unterschieden wird). Wenn wir haben$e$ Kanten haben wir dann $2e$dieser gerichteten Kanten. Da wir platonische Körper verwenden, kann jeder von diesen zu einem anderen übernommen werden (dies folgt ziemlich leicht aus den meisten Definitionen der platonischen Körper, sollte aber ziemlich intuitiv sein).
Aber sobald wir diese eine gerichtete Kante kennen $(v_1,e_1)$ geht zu einer anderen gerichteten Kante $(v_2,e_2)$haben wir die Drehung vollständig spezifiziert: sobald wir uns bewegen $v_1$ zu $v_2$Wir haben die möglichen Drehungen auf eine einzige Achse beschränkt, um die sich die Dinge drehen können (da wir einen Punkt haben, der jetzt unbeweglich ist), und nur eine dieser Möglichkeiten, ihn zu drehen, bewegt sich $e_1$ zu $e_2$.
Dies bedeutet insbesondere, dass eine Drehung eindeutig dadurch spezifiziert wird, wo sie eine einzelne gerichtete Kante nimmt; da jeder der$2e$ Möglichkeiten gibt eine einzigartige Rotation, die es geben muss $2e$ mögliche Umdrehungen insgesamt.
(Wenn wir orientierungsumkehrende Transformationen zulassen, gibt es doppelt so viele; für jeden Weg, eine gerichtete Kante zu einer anderen zu bringen, erhalten wir eine zweite Transformation, die diese gerichtete Kante fixiert, indem wir darüber nachdenken.)
Die Identitätstransformationen, die eine Achse fixieren, sind alle die gleichen Identitätstransformationen. Sie lassen die Form unverändert.
Um die Arten von (orientierungserhaltenden) Rotationen, die für jeden möglichen platonischen Festkörper möglich sind, klarer zu formulieren:
Für jeden platonischen Festkörper sind die möglichen Rotationen entweder eine nichttriviale Rotation um einen Scheitelpunkt, a $180^\circ$ Drehung um eine Kante, eine nicht triviale Drehung um ein Gesicht oder die Identitätstransformation.
Für das Tetraeder sind Flächen entgegengesetzte Eckpunkte, also gibt es $4\cdot (3-1)$ nichttriviale Scheitelpunkt- / Gesichtsrotationen, $1$ Identität und $3$ Edge-Flips ($6$ Kanten, aber zwei pro Flip verwendet), für insgesamt $12$.
Für den Würfel gibt es $8\cdot (3-1)/2$ Scheitelpunktrotationen, $6\cdot(4-1)/2$ Gesichtsrotationen, $12/2$ Rand dreht sich und $1$ Identität, für insgesamt $24$.
Für das Oktaeder gibt es $6\cdot(4-1)/2$ Scheitelpunktrotationen, $8\cdot (3-1)/2$ Gesichtsrotationen, $12/2$ Rand dreht sich und $1$ Identität, für insgesamt $24$.
Für das Dodekaeder gibt es $20\cdot(3-1)/2$ Scheitelpunktrotationen, $12\cdot(5-1)/2$ Gesichtsrotationen, $30/2$ Rand dreht sich und $1$ Identität, für insgesamt $60$.
Für das Ikosaeder gibt es $12\cdot(5-1)/2$ Scheitelpunktrotationen, $20\cdot(3-1)/2$ Gesichtsrotationen, $30/2$ Rand dreht sich und $1$ Identität, für insgesamt $60$.
Es gibt keinen Ersatz dafür, vier gleiche gleichseitige Dreiecke aus Pappe zu schneiden und sie zu einem Tetraeder zusammenzukleben. Sobald Sie dies getan haben, legen Sie eine Fingerspitze in die Mitte einer Kante und eine weitere Fingerspitze in die Mitte der gegenüberliegenden Kante. Drehen Sie dann den Tetraeder um die Achse, die Ihre Fingerspitzen verbindet. Sie sollten feststellen, dass a$180^\circ$Rotation bringt den Tetraeder zu sich selbst zurück. Nach meiner Erfahrung ist dies schwer zu visualisieren, bis Sie es physisch getan haben.
Es gibt drei solcher Paare gegenüberliegender Kanten und daher drei solcher $180^\circ$Rotationen. Diese zusammen mit der Identität und acht Umdrehungen von$\pm120^\circ$ etwa verschiedene Achsen, die den Schwerpunkt einer Fläche mit dem gegenüberliegenden Scheitelpunkt verbinden, erklären alle Rotationssymmetrien des Tetraeders.
Die anderen platonischen Körper haben ähnliche Eigenschaften $180^\circ$Rotationen. Aber wenn Sie nur zählen wollen, können Sie etwas einfacher machen. Beginnen Sie mit einer Seite des Volumenkörpers, die Ihnen mit fester Ausrichtung zugewandt ist (z. B. eine Kante horizontal). Wenn es ein ist$m$-seitiges Gesicht gibt es $m$ Kanten, die horizontal sein können, und diese $m$Orientierungen können alle voneinander erhalten werden, indem man sich um die Mitte des Gesichts dreht. Nun, wenn der Feststoff hat$f$ Gesichter, eines der $f$kann durch Drehen in die Position "Ihnen zugewandt" gebracht werden. So sollte es sein$mf$Rotationssymmetrien. Das macht alles aus.
Die Antwort von orangeskid ist ähnlich, aber noch einfacher als diese. Beginnen Sie mit einer Kante, die horizontal ausgerichtet ist. Die horizontale Ebene, die diese Kante enthält, sei so, dass sie den Diederwinkel zwischen den beiden Flächen, die sich entlang dieser Kante treffen, halbiert. (Mit anderen Worten, aus Ihrer Sicht erscheinen diese beiden Gesichter, die von Ihnen weg geneigt sind, gleich.) Jetzt können Sie das tun$180^\circ$Drehung oben diskutiert, aber Sie können auch jede andere Kante des Volumenkörpers durch eine Drehung in die Position "Ihnen zugewandt" bringen. So gibt es$2e$ Symmetrien.
Für Polyeder in $3$ Raum können Sie zeigen, dass eine Kante $a$ kann zu einer anderen Kante gebracht werden $b$ durch $2$ Orientierungserhaltende Transformation des Festkörpers (eins bekommen und dann auch drehen können $b$). Wenn Sie alle Transformationen berücksichtigen, gibt es$4$ solche Transformationen. Transformationen.
Deshalb, $|G_{+}(S)| = 2 e$, $|G(S)|= 4 e$, wo $e$ ist die Anzahl der Kanten von $S$.