Wie schreibe ich einen euklidischen Raum mit Symbolen formell auf?

Question

Ein Leerzeichen ist ein geordnetes Tupel, wobei das erste Element eine Menge ist und die folgenden Elemente die hinzugefügte Struktur beschreiben, z $(X, m)$ für einen metrischen Raum, $(X, \tau)$für einen topologischen Raum. Was sind die folgenden Elemente für einen euklidischen Raum?

Soweit ich weiß, brauchen wir

• $X=\mathbb R^n$ ist die Menge aller n-Tupel reeller Zahlen (mit $n\in\mathbb N$)
• Wir brauchen die Elemente von $X$ Vektoren sein - also linear mit der Skalarmultiplikation kombinierbar $\times$, das Feld $F$ und zusätzlich $+$.
• ein Punktprodukt $\cdot$ zwischen den Elementen von $X$.
• eine Norm für die Elemente von $X$. Ist dies von Natur aus im Punktprodukt enthalten oder muss ich es explizit angeben, um genau zu sein? Brauche ich kein zusätzliches "$-$"? http://faculty.cord.edu/ahendric/2008Fall210/subsub.pdf schlägt vor, dass dies auch in der "$+$".
• Vollständigkeit von $X$ (Ist dies von Natur aus in der Tatsache enthalten, dass $X=\mathbb R^n$?)
• eine Metrik (ich denke, dies ist auch inhärent in der Norm enthalten und die Tatsache, dass die Elemente von $X$ sind Vektoren, richtig?)

Daraus schließe ich, dass ein euklidischer Raum ist $(\mathbb R^n, \cdot, +, F, \times)$. Möglicherweise brauche ich auch ein "$-$".

Also: Wie schreibe ich einen euklidischen Raum mit Symbolen formell auf?

Answer 1

Sie haben in Ihrer Frage bereits einen euklidischen Raum aufgeschrieben: $\mathbb{R}$.

Das einzige andere, was ich mir vorstellen kann, ist Ihre Metrik. Sagen$(\mathbb{R},d)$ ist ein metrischer Raum und definiert d, dh den Abstand zweier beliebiger Punkte.

Bei Metriken sind einige Axiome zu beachten:

1. $d(x,x)=0$

2. $d(x,y)>0$

3. $d(x,y)=d(y,x)$

4. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (die Dreiecksungleichung genannt; denken Sie an ein rechtwinkliges Dreieck, und Sie gehen in einer diagonalen Linie, um dorthin zu gelangen, wo Sie hin müssen)

Es gibt viele Metriken, die wir für einen Raum wie definieren könnten $\mathbb{R^2}$, die reale Ebene; das häufigste Wesen$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

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BEARBEITEN:

Sie müssten eine Topologie lernen, nehme ich an. Das kartesische Produkt ist nur ein Beispiel für ein allgemeineres Konzept, nämlich Produkträume. In der Topologie diskutieren wir Kontinuität und offene Mengen (sie sind nicht alle gleich definiert). Sagen$X,Y$ sind topologische Räume und die Menge, $U_{X_i}$ und $V_{Y_i}$ sind in ihren jeweiligen Topologien offen.

Wir definieren die Topologie im Produktbereich $X\,\,x\,\, V$indem man nur sagt, dass es die Topologie der beiden anderen Räume "erbt". Eine Teilmenge von$X\,\,x\,\, V$ ist offen wenn nur wenn $U\subset X$ und $V\subset Y$sind beide offen. Dies gilt genauso für unsere Standardmetrikräume, aber stattdessen erbt der Produktraum die Metrik, was uns auch eine Vorstellung davon geben kann, was "offen" ist!