Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, die keine Null enthalten und deren Ziffern nicht durch 7 teilbar sind?

Question

Ich habe eine Frage in meinem Mathebuch gesehen, es scheint sehr trivial zu sein, da steht:

Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, die keine Null enthalten und deren Ziffern nicht durch 7 teilbar sind?

Ich dachte an:

(alle vierstelligen Zahlen ohne Null) minus (alle vierstelligen Zahlen ohne 7 und 0)

um alle vier Ziffern zu finden, die keine Null enthalten, und die Multiplikation ihrer vier Ziffern, die durch 7 teilbar sind.

Dann$(9^4)-(8^4)=2465$. Die Antwort lautet jedoch$4904$. Was vermisse ich?

Answer 1

Ihre erste Antwort ist in Bezug auf Ihre Aussage in der Tat richtig:

Lassen$(a,b,c,d) \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}^4$. So$A = 1000a+100b+10c+d $ist eine vierstellige Zahl.

Außerdem$a\cdot b \cdot c \cdot d $ist teilbar durch$7$, genau dann, wenn seine Primfaktorzerlegung mindestens eine Zeit enthält$7$also, wenn und nur wenn, mindestens einer von$A$Die Ziffer von ist gleich$7$. Daher lautet die Antwort$9^4-8^4 = 2465$wie du gesagt hast.

Wenn Sie jedoch nach der Anzahl vierstelliger Zahlen suchen, durch die das Produkt ihrer Ziffern teilbar ist$7$die Antwort ist$4904 = 8(10^3-8^3) + 10^3$. Sie können das überprüfen: um eine vierstellige Zahl zu erhalten$A$das Produkt seiner Ziffern durch teilbar zu haben$7$, muss enthalten sein$0$oder$7$.

Lassen$A = 1000a+100b+10c+d$wo$0\leq a,b,c,d \leq 9$sind ganze Zahlen und$a \neq0$.

Wenn$a=7$dann können Sie alle möglichen Kombinationen für haben$b,c$und$d$. So gibt es Ihnen$10^3$Auswahlmöglichkeiten.

Wenn$a \neq 7$, dann suchst du die Nummer$n$an Möglichkeiten, zumindest zu haben$b,c$oder$d$ist gleich$0$oder$7$. Außerdem haben Sie genau$8^3$Möglichkeiten für$b$,$c$und$d$nicht gleich sein$0$Noch$7$. Somit$n = 10^3-8^3$. Schließlich gibt es nur$8$Möglichkeiten für$a$anders sein als$7$.

Daher ist die gesuchte Nummer$8(10^3-8^3)+10^3 = 4904$.