Wo liegen die Grenzen der mathematischen Sprache?
Mir wurde gesagt, dass Mathematik nicht qualitativ ausdrücken kann, was die Elemente einer Menge sind, so dass man zum Beispiel nicht sagen kann, dass die Mitglieder einer Menge aus weißen Tigern bestehen. Die Mathematik kann also einem mathematischen Konzept oder einer mathematischen Instanz keine qualitativen Details hinzufügen. Ich würde gerne wissen, was einige der anderen Einschränkungen der Sprache der Mathematik im Vergleich zu geschriebener oder gesprochener Sprache wie Englisch sind.
Antworten
Die mathematische Sprache ist einfach eine strengere Art, über die Welt zu sprechen. Es gibt in dieser Hinsicht keine Beschränkung, die keine Beschränkung auf irgendeine Sprache wäre.
Dass heute niemand weiß, wie man Witze, Wortspiele und Poesie mathematisch ausdrückt, bedeutet nicht, dass sie unmöglich mathematisch ausgedrückt werden könnten. Es gab eine Zeit, da wusste zum Beispiel niemand, wie man Wahrscheinlichkeiten mathematisch ausdrückt, und schau jetzt...
Die Tatsache, dass es keine Gedichte in mathematischer Sprache gibt, bedeutet nicht, dass dies nicht möglich wäre. Vielmehr scheint es eine direkte Folge der Tatsache zu sein, dass es sich um eine Fachsprache handelt und sie daher von den meisten Menschen nicht gut genug verstanden wird.
Was Witze betrifft, hier ist einer, der in der Sprache der formalen Logik geschrieben ist:
(φ ⊃ ψ) → (φ → ψ)
Es ist eigentlich sehr lustig, aber man muss es verstehen und nur sehr wenige Leute verstehen es.
Im Gegensatz zu einigen Kommentatoren hier gibt es einen großen Unterschied zwischen Mathematik und Sprache, obwohl jeder Satz offensichtlich in mathematische „Informationen“ übersetzt werden kann.
Russell, die logischen Positivisten und andere machten sich daran, die Sprache von ihren düsteren Eigenschaften zu befreien, indem sie sowohl Sprache als auch Mathematik auf Logik reduzierten. Während die Arbeit recht fruchtbar war, galt das Projekt selbst als Fehlschlag, zumindest als Gesamtsystem. Der Bruch zwischen frühem und spätem Wittgenstein bietet angesichts der enormen, komplexen, lebendigen und performativen Natur der Sprache eine dramatische Zusammenfassung dieses „Scheiterns“.
Zunächst einmal ist Sprache verkörpert, erfahrbar und in erster Linie mündlich. Es beginnt mit Vibrationen im Mutterleib und setzt sich fort mit dem menschlichen Leben, den physischen Kontexten und der Fortpflanzung. Wir können Wörter in visuelle Alphabete transkribieren, aber dies erfordert einen ziemlich unnatürlichen, mühsamen Lernprozess. Sie können diese visuellen Zeichen nicht ohne Zugang zu den gesprochenen Wörtern zurück in Sprache übersetzen. Abgesehen von groben Piktogrammen können Sie eine "tote Sprache" wie Linear A nicht übersetzen oder wiederherstellen, ohne eine, wenn auch nur indirekte, Beziehung zu einer lebendigen "gesprochenen" Sprache.
Dies deutet darauf hin, dass die Sprache die gleiche Art von zeitgebundener Unumkehrbarkeit hat wie das Leben selbst, während die Mathematik „umkehrbar“ und daher bedeutungsleer ist, wenn „Bedeutung“ mit Beziehungen zwischen Tatsächlichem und Möglichem zu tun hat, wie Luhmann sagt. Die Mathematik versucht, sich so weit wie möglich von Erfahrungsinhalten zu befreien, während die Sprache Erfahrung ist und immer, wenn auch entfernt, einen verkörperten Sprecher mit einer bestimmten Geschichte und Umgebung annimmt.
Wir können Mathematik nicht ohne Sprache lernen, aber wir lernen leicht Sprache ohne Mathematik. Theoretisch könnten einige natürlich argumentieren, dass KI eine Mathematisierung der einzigartigen menschlichen Sprachfähigkeiten nach sich ziehen würde, die sich innerhalb und zwischen Gehirnen bewegen. Aber eine der linguistischen Fähigkeiten intelligenter Gehirne ist, dass sie sich selbst reproduzieren, während es sehr zweifelhaft ist, dass Rechenmaschinen sich außerhalb einer Umgebung reproduzierender Menschen reproduzieren können.
Es gibt einen wichtigen Unterschied zwischen reiner Mathematik und angewandter Mathematik.
Die reine Mathematik befasst sich ausschließlich mit abstrakten Wahrheiten der allgemeinen Form "Was sind die Konsequenzen bei bestimmten formalen Anfangsbedingungen oder Postulaten?" Beispielsweise werden in einem axiomatischen System diese formalen Bedingungen in Primitive , Relationen und Axiome unterteilt, die definieren, wie die Relationen zwischen Primitives gelten. Aber die Primitiven und Relationen haben keine innere Bedeutung.
Wenn man einem Primitiv eine Bedeutung zuweist, wird die Übung zu einer Übung der angewandten Mathematik. Einer gegebenen rein mathematischen Disziplin können viele verschiedene Bedeutungen zugeschrieben werden, die jeweils zu einem anderen Zweig der angewandten Mathematik führen. Wie David Hilbert einmal apokryphisch über die axiomatische Geometrie bemerkte, könnte man „Punkte“, „Linien“ und „Flächen“ durchaus auf Tische, Stühle und Bierkrüge anwenden.
Daher sind die mathematischen Eigenschaften der Elemente einer Menge als primitive Platzhalter die Domäne der reinen Mathematik, während die mathematischen Eigenschaften eines Käfigs voller weißer Tiger die Domäne der angewandten Mathematik sind.
Hinter Farben und Musik steckt viel solide Mathematik. In der Mengenlehre kann man von Mengen mit unterschiedlichen transfiniten Kardinalzahlen für ihre Anzahl an Farben sprechen.
Die logische Struktur kann allgemein und für bestimmte Konzepte grafisch dargestellt werden.
Trotzdem würde ich meine Wetten absichern und einfach sagen, dass wir nicht wissen, ob wir jedem relevanten Konzept auf relevante Weise eine eigene Mathematisierung zuordnen können. In Fällen, in denen der Erfolg ausbleibt, kann es sein, dass wir das Wort Problem sozusagen noch nicht verstanden haben.