Zwei-Qubit-Zustand + Depolarisationskanal = Glockendiagonalzustand?

Nov 25 2020

In mehreren Quellen, z. B. RGK , KGR , wird (ohne Beweis) angegeben, dass der resultierende Zustand ein Bell-Diagonal-Zustand wäre, wenn Sie einen Zwei-Qubit-Zustand annehmen und ihn über einen Depolarisationskanal senden . Ich verstehe, dass ein zweiteiliger Bell-Diagonal-Zustand$\rho_{AB}$ hat die Form:

$$ \rho_{AB} = \lambda_1 |\Psi^+\rangle\langle \Psi^+| + \lambda_2 |\Psi^-\rangle\langle \Psi^-| +\lambda_3 |\Phi^+\rangle\langle \Phi^+| +\lambda_4 |\Phi^-\rangle\langle \Phi^-|, $$ wo $|\Psi^+\rangle, |\Psi^-\rangle, |\Phi^+\rangle, |\Phi^-\rangle$sind die üblichen Bell-Zustände. Die Wirkung eines depolarisierenden Kanals$\mathcal{E}$ auf zwei Qubits ist definiert als:

$$ \mathcal{E}(\rho_{AB}) = \sum_i (E_i \otimes E_i) \rho_{AB} (E_i \otimes E_i)^\dagger, $$ wo $E_i \in \{\mathbb{I}, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\}$sind die Pauli-Operatoren. Ich verstehe jedoch nicht, warum ein zweigeteilter Dichteoperator in einen Zustand mit Glockendiagonale umgewandelt wird. Gibt es einen Beweis für diese Behauptung?

Antworten

2 DaftWullie Nov 25 2020 at 15:17

Beachten Sie zunächst, dass jeder Bell-Zustand $|\psi_{ij}\rangle=(|0i\rangle+(-1)^j|1\bar i\rangle)/\sqrt{2}$ ist ein Eigenzustand von $E_i\otimes E_i$ für alle $i$ (Die Eigenwerte sind entweder $\pm 1$). Daher bleibt ein Bell-Diagonal-Zustand unter der Wirkung der Karte Bell-Diagonal. Dies deutet bereits darauf hin, dass ein Zustand mit Glockendiagonale wahrscheinlich das endgültige Ziel der Karte ist, aber lassen Sie uns dies beweisen.

Betrachten Sie einen beliebigen Zustand $|\Psi\rangle$. Dies kann in der Bell-Basis zerlegt werden,$$ |\Psi\rangle=\sum_{i,j}a_{ij}|\psi_{ij}\rangle. $$ Wir haben $XX|\psi_{i1}\rangle=-|\psi_{i,1}\rangle$ und $XX|\psi_{i0}\rangle=|\psi_{i,0}\rangle$. Also zum Beispiel, wenn ich rechne$$ |\Psi\rangle\langle\Psi|+XX|\Psi\rangle\langle\Psi|XX, $$ dann werden alle Kreuzbegriffe wie z $|\psi_{i0}\rangle\langle\psi_{j1}|$

Ähnlich, $ZZ|\psi_{0i}\rangle=|\psi_{0,i}\rangle$ und $ZZ|\psi_{1i}\rangle=-|\psi_{1i}\rangle$, also Begriffe wie $|\psi_{0i}\rangle\langle\psi_{1j}|$wird auch ausgeschlagen. Letztendlich bleiben nur noch Begriffe übrig$|\psi_{ij}\rangle\langle\psi_{ij}|$Das heißt, der Zustand ist die Glockendiagonale.

Um all dies sorgfältig zusammenzustellen, möchten Sie genau sagen $$ \rho_x=\rho+XX\rho XX $$ und $$ \mathcal{E}(\rho)=\rho_x+ZZ\rho_xZZ $$ Zwei sehen, wie die zwei getrennten Schritte, die ich gemacht habe, zusammenpassen.