Comment résoudre $\frac{dx}{dt} = ax^2 + bx + c$?

Question

Cela fait un moment que je n'ai pas résolu les ODE de manière analytique, mais cela ressemble à un ODE non linéaire de premier ordre séparable.

Quand je sépare les termes, je vois

\begin{align} \frac{1}{ax^2 + bx + c}dx = dt \\ \end{align}

Le LHS sera assez difficile à évaluer. Existe-t-il une solution simple à ce problème que je ne vois pas?

Answer 1

Pour les techniques d'intégration sans utiliser$i$:

Si$ax^2+bx+c$a des racines réelles répétitives, alors il peut être écrit comme$$\dfrac{1}{(jx+k)^2}$$qui est une intégration bien connue, j et k sont des constantes et ne méritent pas d'être reconnues dans cette réponse.

Si$ax^2+bx+c$a des racines répétitives non réelles, alors il peut être écrit comme$$\dfrac{1}{u} \dfrac{1}{x^2+v^2}$$qui, après intégration, donne,$$\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{v}\arctan\left(\frac{x}{v}\right)$$où u et v sont des constantes.

Si$ax^2+bx+c$a des racines réelles distinctes, il est facile de les factoriser et d'écrire$$\frac{1}{ax^{2}+bx+c}=\frac{A}{f\left(x\right)}+\frac{B}{g\left(x\right)}$$où A,B sont des constantes et f(x) et g(x) sont des fonctions linéaires. (les facteurs de l'équation quadratique). La forme résultante de ce qui précède serait constituée de logarithmes de la forme$$\frac{A}{p}\ln\left(f\left(x\right)\right)+\frac{B}{q}\ln\left(g\left(x\right)\right)+C_{onstant}$$où p,q sont les coefficients de x dans l'expression f(x) et g(x) respectivement.

Sif$4ac-b^2>0$, alors les racines sont imaginaires et le problème peut être résolu en exprimant$$\frac{1}{ax^{2}+bx+c}=\frac{1}{\left(h\left(x\right)\right)^{2}+d}$$où h(x) est à nouveau linéaire, d est une constante positive , mais nous venons de terminer le carré entier.

L'intégrale résultante devient :$${\dfrac{2\arctan\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)}{\sqrt{4ac-b^2}}}+C_{onstant}$$

et ssi$d<0$, l'intégrale est de la forme$$\dfrac{1}{\left(ax+b\right)^2-r^2}$$lequel est$$-\dfrac{\ln\left(\left|ax+r+b\right|\right)-\ln\left(\left|ax-r+b\right|\right)}{2ar}+C_{onstant}$$dès l'intégration.

Pour les techniques d'intégration utilisant$i$:

Faites-en une forme du troisième$\text{if}$déclaration dans le corps ci-dessus et traiter$i$comme une constante.