Étant donné un champ $\mathbb F$, y a-t-il un plus petit champ $\mathbb G\supseteq\mathbb F$ où chaque élément de $\mathbb G$ a un $n$la racine pour tous $n$?
Le champ de base $\mathbb F$ n'est probablement pas important, mais j'utilise les expressions rationnelles sur le champ binaire, $\mathbb F=\mathbb F_2(x)$.
Un sous-champ de $\mathbb G$ se compose de rapports de polynômes dans les racines de $x$, avec des coefficients en $\mathbb F_2$, tel que
$$\frac{x^{2/5}+x^{-1/3}+x^2}{x^{-2/3}+1}=\frac{x^{16/15}+x^{1/3}+x^{8/3}}{1+x^{2/3}}=\frac{\sqrt[15]x^{40}+\sqrt[15]x^{16}+\sqrt[15]x^5}{\sqrt[15]x^{10}+1},$$
et ces expressions sont ajoutées et multipliées en utilisant les règles habituelles pour les fonctions rationnelles, et $x^ax^b=x^{a+b}$ pour $a,b\in\mathbb Q$.
La quadrature et les racines carrées sont linéaires sur$\mathbb F_2$, donc nous pouvons simplement diviser par deux les exposants sur $x$pour obtenir une racine carrée de l'expression. Ainsi, tout$2^n$La racine existe toujours. Par exemple,
$$x+1=(x^{1/2}+1)^2=(x^{1/4}+1)^4=(x^{1/8}+1)^8.$$
Mais cela ne fonctionne pas pour les autres $n$les racines; il n'est pas possible d'écrire
$$x+1=\frac{p(x^{1/m})^3}{q(x^{1/m})^3}$$
où $p,q$ sont des polynômes et $m\in\mathbb N$. Il est donc nécessaire de joindre formellement$\sqrt[3]{x+1}$ sur le terrain, ou à la place $\sqrt[3]{x^{1/2}+1}$, etc.
Existe-t-il un domaine unique et bien défini $\mathbb G$ de telles expressions algébriques sur $\mathbb F$?
Notez que je ne veux pas $n$ différent $n$les racines de chaque élément, juste une seule racine (sauf si $\mathbb F$a déjà des racines d'unité; mais j'ai choisi$\mathbb F_2$ pour éviter cela).
Compte tenu de la fermeture algébrique $\mathbb A\supseteq\mathbb F$, nous pourrions juste prendre l'intersection $\mathbb G\overset?=\bigcap\{\mathbb B\}$ de tous les domaines intermédiaires $\mathbb A\supseteq\mathbb B\supseteq\mathbb F$ avec la propriété $\forall n\in\mathbb N,\,\forall a\in\mathbb B,\,\exists b\in\mathbb B,\,a=b^n$. Mais cela ne fonctionne pas car différents domaines ont des racines différentes de$a$, donc leur intersection ne contient pas de racine de $a$. Vraisemblablement, il existe un moyen d'utiliser l'axiome du choix pour construire$\mathbb G$, soit à travers $\mathbb A$, ou directement depuis $\mathbb F$. Est-ce le cas? La preuve d'existence du Wiki (je ne l'ai pas suivie en détail) peut-elle être modifiée pour donner$n$les racines de tout sans introduire de nouvelles racines d'unité? Et qu'en est-il de l'unicité?
Existe-t-il une construction plus simple de $\mathbb G$ pour le cas particulier de $\mathbb F_2(x)$, cela n'utilise pas l'axiome du choix? Ici, je n'ai pas besoin d'unicité. Voir par exemple cette réponse ; nous utiliserions des polynômes de la forme$x^p-a$qui sont irréductibles sur le champ défini par les polynômes précédents.
Avoir plusieurs $n$les racines de $a\neq0$ équivaut à avoir un $n$ème racine de l'unité: Si $x_1^n=x_2^n=a$ et $x_1\neq x_2$, puis $(x_1/x_2)^n=1$ et $(x_1/x_2)\neq1$. Inversement, si$\omega^n=1$ et $\omega\neq1$, et $x_1^n=a$, puis $(\omega x_1)^n=a$ et $x_1\neq\omega x_1$.
Si $\mathbb F$ a un primitif $mn$racine de l'unité, alors il a aussi un primitif $n$la racine de l'unité; nous n'avons donc besoin que de considérer les nombres premiers. Fixez deux nombres premiers$p\neq q$. Si$\mathbb F$ a un primitif $p$la racine de l'unité $\omega_1$, puis $\mathbb G$ devrait avoir un primitif $p^n$la racine de l'unité $\omega_n$ pour tous $n$, puisque non primitif $p^n$Les racines de l'unité ne peuvent jamais atteindre $\omega_{n-1}$ comme un $p$e pouvoir. Si$\mathbb F$ n'a pas de primitif $q$la racine de l'unité, alors $\mathbb G$ ne devrait pas non plus, puisque nous avons déjà $1^q=1$ et $(\omega_n^r)^q=\omega_n$ où $r=q^{-1}\bmod p^n$.
Réponses
Eh bien, d'après ce que je raconte dans les commentaires, il est probablement clair que je n'ai pas pleinement compris la profondeur de ce problème. Mais permettez-moi quand même de faire quelques remarques, d'abord sur le cas très spécial$\mathbf F=\Bbb F_2(x)$. Il arrive, et certaines personnes très expérimentées semblent ne pas le savoir, que lorsque$\mathbf F$ est de degré de transcendance un sur un champ parfait de caractéristique $p$et pas déjà parfait, il y a exactement une extension radicale (= purement inséparable, c'est radiciel français ) de chaque degré possible$p^m$. Je pense que cela devrait clarifier votre réflexion sur une extension de racine carrée fermée de$\Bbb F_2(x)$.
Deuxièmement, permettez-moi de souligner la difficulté de décrire toute construction pour votre domaine $\mathbf F=\Bbb F_2(x)$: pour $d$ bizarre, les extensions $\mathbf F(\sqrt[d]x\,)$ et $\mathbf F(\sqrt[d]{x+1}\,)$ n'ont rien à voir les uns avec les autres: leur intersection est le champ terrestre $\mathbf F$. Collez tout$\Bbb F_2$-polynôme irréductible sous le signe radical et obtenir une autre extension totalement indépendante. Donc, conceptuellement de toute façon, cela devient un gâchis; vous devez également vous soucier des expressions rationnelles.
J'imagine que vous pensiez au départ préciser que dans tous les cas, le $n$-ème racine de $1$ que tu choisis est $1$lui-même. Même si vous faites cela, il ne m'est pas clair que dans votre choix de beaucoup de non spécifiés$n$-th racines d'autres éléments, vous pouvez induire par inadvertance la présence d'autres racines d'unité que $1$lui-même. Cela simplifierait les choses, mais je pense que vous vous rendez les choses difficiles. Il me semble que si vous convenez au départ que toutes les racines d'unité doivent être ajoutées (cela rendrait le champ constant$\overline{\Bbb F_2}\,$, algébriquement clos), alors l'existence de votre champ est maintenant facilement visible, même si une construction explicite resterait encore quelque chose d'un problème.
Voici une bonne référence. Si$\Bbb F$ est un champ, et $\Bbb K$ est une extension de champ telle que:
- $\Bbb{K/F}$ est de dimension infinie, et
- pour chaque irréductible $p\in\Bbb F[x]$, si $p$ a au moins deux racines dans $\Bbb K$, alors il y a un automorphisme de $\Bbb K$ (fixation $\Bbb F$) qui est un dérangement complet des racines de $p$ dans $\Bbb K$.
Dans ce cas, il existe un modèle de $\sf ZF$ dans lequel il y a un champ qui est "moralement isomorphe à $\Bbb K$, mais pas en interne isomorphe ". C'est-à-dire que nous ajoutons une nouvelle copie de $\Bbb K$, mais nous supprimons l'isomorphisme, et en fait toute bijection, tout en préservant la structure du champ, et toute extension de champ de $\Bbb F$ l'intégration aux deux sera de dimension finie.
Il n'est pas difficile de voir que votre "plus petit champ" satisfera ces propriétés, ou à tout le moins, nous pouvons trouver un tel champ qui garantira qu'aucun "plus petit" n'existe.
Au lieu de construire une fermeture radicale $\Bbb{F}^{rad}$par intersection, pourquoi ne pas le construire par un processus d'union? Commencez par votre champ de base$\Bbb{F}$ (dans votre cas particulier, le champ de base est $\Bbb{F}_2(x)$) qui, par hypothèse, n'est pas déjà radicalement fermée (ou ce processus se terminera à la toute première étape, lol). Votre prochain champ$\Bbb{F}_1 \supset \Bbb{F}$ est l'union de toutes les extensions radicales de $\Bbb{F}$, $$\Bbb{F}_1 := \bigcup_{a \in \Bbb{F}} \left( \bigcup_{n \geq 2} \Bbb{F}(\sqrt[n]{a}) \right);$$ le champ suivant $\Bbb{F}_2 \supset \Bbb{F}_1$ est l'union de toutes les extensions radicales de $\Bbb{F}_1$, $$\Bbb{F}_2 := \bigcup_{a \in \Bbb{F}_1} \left( \bigcup_{n \geq 2} \Bbb{F}_1(\sqrt[n]{a}) \right);$$ et en continuant ainsi, vous acquérez une séquence d'extensions radicales $$... \supset \Bbb{F}_n \supset ... \supset \Bbb{F}_2 \supset \Bbb{F}_1 \supset \Bbb{F}.$$ Clairement l'extension $\Bbb{F}_n/\Bbb{F}_{n-1}$sera unique jusqu'à l'isomorphisme à chaque étape, et donc toute la chaîne l'est également. Par conséquent$\Bbb{F}^{rad} := \bigcup_{n \geq 1} \Bbb{F}_n$ est unique jusqu'à l'isomorphisme et chaque élément de $\Bbb{F}^{rad}$ a un $n$e racine dans $\Bbb{F}^{rad}$ pour tous $n \geq 2$.
Edit: Cette méthode de chaîne fonctionne toujours même si, comme dans le cas d'OP, nous voulons juste une racine pour chaque élément du champ. Commencez par le champ de base$F := \Bbb{F}_2(x)$. Construction$F_1 \supset F$ via $$F_1 := \bigcup_{a \in F^\times} \bigcup_{q \in \Bbb{Q}} F(a^q)$$ où éviter Axiom of Choice que nous considérons $a^q$, $q \in \Bbb{Q} \setminus \Bbb{Z}$, être des "pouvoirs" purement formels des éléments $a$ dans des relations d'équivalence appropriées, telles que: $$(a^n)^q \sim (a^q)^n \text{ for all } q \in \Bbb{Q}, n \in \Bbb{Z}, a \in F^\times,$$ $$a^q a^r \sim a^{q+r} \text{ for all } q, r \in \Bbb{Q}, a \in F^\times,$$ ou $$(ab)^q \sim a^q b^q \text{ for all } a, b \in F^\times, q \in \Bbb{Q}.$$ Dans la plupart des domaines, les problèmes de racine de l'unité rendraient l'établissement de ces relations d'équivalence semé d'embûches, mais puisque la seule racine $F = \Bbb{F}_2(x)$ est $1$elles-mêmes, ces relations d'équivalence finissent par se comporter comme nous le souhaitons, sans trop d'histoires. (Edit: Nous devrions également préciser que$x \sim 0$ si $x^n = 0$ pour certains $n$.)
Continuez à itérer cette construction pour obtenir un nouveau champ $F_{k+1}$ du champ précédent $F_k$: $$F_{k+1} := \bigcup_{a \in F_k^\times} \bigcup_{q \in \Bbb{Q}} F(a^q),$$ où nous ajoutons également que nos relations d'équivalence doivent obéir $(a^q)^r \sim (a^r)^q \sim a^{rq}$ pour tous $a \in F_{k-1}$ et tout $q, r \in \Bbb{Q}$. Ensuite, comme auparavant, nous obtenons le champ de radicaux souhaité via$\bar{F} := \bigcup_{k \geq 1} F_k$, et tout autre champ fermé sous les radicaux et contenant le champ de base $F$ doit contenir un champ isomorphe à $\bar{F}$, comme $\bar{F}$ par construction contient toutes les expressions radicales possibles qui pourraient être constituées d'éléments de $F = \Bbb{F}_2(x)$ (ou, en tout cas, des éléments équivalents).