Fait une fonction $f$ avec la propriété suivante existe?

Question

J'ai vu cette question hier, qui demande des$n$, existe-t-il une fonction continue $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$ tel que $$f\left(\frac k n\right) = {n \choose k}^{-1}$$La réponse est oui, et il existe de nombreuses façons de construire une réponse (on peut utiliser un polynôme interpolant ou simplement un ensemble de lignes droites, par exemple). Je me demandais si quelque chose d'autre pouvait être dit si$n$ n'est pas fixe, à savoir ce qui suit:

Existe-t-il une fonction continue $f: (0, 1) \to \mathbb{R}$ tel que pour chaque rationnel $k / n$ dans les termes les plus bas, $$f\left(\frac k n\right) = {n \choose k}^{-1}$$

Si oui, peut-on en construire un facilement? Et comment lisse peut$f$être tout en satisfaisant la propriété ci-dessus? (Je soupçonne que la réponse est qu'il existe une continuation analytique.)

Answer 1

La réponse est non. Considérer$\alpha \in (0,1)$ tout nombre irrationnel, et $\frac{p_n}{q_n}$ toute séquence de fractions irréductibles convergeant vers elle.

ensuite $f(p_n/q_n) \rightarrow f(\alpha)$.

Mais c'est facile de voir ça $q_n \rightarrow \infty$ et donc $\binom{q_n}{p_n}^{-1} \leq q_n^{-1}$ va à zéro.

Donc $f$ est zéro sur tous les irrationnels donc est identiquement zéro, une contriction.

Answer 2

Notez que ${2n-1\choose n}\approx{2n\choose n}\approx \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ de sorte que $$\lim_{n\to\infty}f(\tfrac n{2n-1})=0\ne f(\tfrac12) $$