Une subtilité dans le problème de la brachistochrone

Question

Ce qui suit est un exemple spécifique du problème de la brachistochrone, que j'ai rencontré pour la première fois à l'école supérieure, et que j'ai parfois utilisé comme problème de santé dans l'enseignement du CM.

Une particule est démarrée au repos à l'origine et contrainte de tomber sous gravité le long d'un chemin $y(x)$ qui passe par le point $x=5$, $y=-1$(en unités arbitraires, par exemple mètres). Nous supposerons que le potentiel gravitationnel est linéaire,$V=mgz$.

a) Déterminez le chemin qui minimise le temps nécessaire. Faites un tracé de ce chemin.

b) Y a-t-il un autre chemin qui rend le temps stationnaire? Si oui, tracez ce chemin et expliquez si ce chemin est un minimum, un maximum ou un point de selle.

La solution au problème de la brachistochrone est bien sûr très bien connue, donc cette tâche consiste vraiment à trouver un cycloïde spécifique qui satisfait les conditions aux limites. Comme l'indique la partie b, il y en a plus d'un: le cycloïde standard et deux cycloïdes qui `` rebondissent ''.

Maintenant, il est clair que la cycloïde simple est le minimum absolu, car le temps de parcours est proportionnel à l'angle tracé. Mais qu'en est-il des deux autres? Naïvement, ils devraient être des selles, mais la deuxième variation de la fonction d'action est manifestement positive, indiquant qu'il s'agit de minima locaux. Mais cela ne peut pas être vrai, à moins qu'il n'y ait quelque chose de drôle dans la topologie de l'espace des chemins. Les points de selle des cycloïdes les plus élevés ou les minima sont-ils?

PS: Pour voir que les cycloïdes supérieurs ne peuvent pas facilement être rejetés comme des solutions, considérez ce graphique des composantes de vitesse $(v_x,v_y)$ en fonction du temps pour le deuxième cycloïde.

Les composants correspondants de l'accélération sont:

En clair, l'accélération (et les forces de contrainte) sont parfaitement lisses.

Answer 1

TL; DR: Un chemin construit par morceaux à partir de plus d'un cycloïde (chacun avec une énergie éventuellement différente$E$, voir ci-dessous), et avec des cuspides au $x$-axis, n'est pas stationnaire.

Preuve esquissée:

1. Rappelons que l'action (= temps passé) du problème de la brachistochrone est$$S~=~\int_0^a\! \mathrm{d}x~L,\qquad L~=~\sqrt{\frac{1+y^{\prime 2}}{y}},\qquad y~\geq~ 0,\tag{1}$$ avec conditions aux limites $y(0)=0$ et $y(a)=b$. (Ici le$y$-axis pointe vers le bas et nous avons choisi pour la simplicité des unités de temps et d'espace telles que $2g=1$.)

2. Physiquement, nous exigeons que le chemin $x\mapsto y(x)$est au moins continue. Mathématiquement, l'intégrande devrait simplement être intégrable Lebesgue. Pour être aussi simple que possible mais incorporer également les exemples d'OP, nous allons trouver un compromis pratique et supposer que le chemin$x\mapsto y(x)$est continuellement différentiable par morceaux , bien que nous autorisions la dérivée$y^{\prime}\equiv \frac{dy}{dx}$ devenir singulier aux points entre les pièces tant que l'intégrande reste Lebesgue intégrable.

3. Il s'ensuit qu'un trajet stationnaire satisfait nécessairement l' équation d'Euler-Lagrange (EL) à l'intérieur de chaque pièce. Des conditions supplémentaires peuvent survenir aux points entre les pièces.

4. Depuis le lagrangien $L$ n'a pas d'explicite $x$-dépendance la notion d'énergie correspondante (au sein d'une pièce) est conservée: $$E~=~ y^{\prime} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}-L~\stackrel{(1)}{=}~-\frac{1}{\sqrt{y(1+y^{\prime 2})}}~<~0.\tag{2}$$

5. La solution pièce est un cycloïde: $$\begin{align} 2E^2x~=~&\theta-\sin\theta~\approx~\frac{\theta^3}{6},\cr 2E^2y~=~&1-\cos\theta~\approx~\frac{\theta^2}{2},\end{align}\tag{3}$$où l'approximation est valide près de la cuspide. L'équation de la cuspide devient$$ y~\stackrel{(3)}{\propto}~ x^{2/3}.\tag{4}$$ Près de la cuspide, la particule effectue un mouvement de chute libre, qui est lisse en fonction du temps $t$.

6. L'idée est maintenant de tronquer la cuspide à un certain niveau horizontal $y=\epsilon\ll 1$, c'est à dire à certains $x~\propto~ y^{3/2}~=~\epsilon^{3/2}$. (Nous considérons pour simplifier juste la branche droite de la cuspide - la branche gauche est similaire.) L'action de la cuspide est$$L~\stackrel{(1)+(2)}{=}~\frac{1}{|E|y}~\stackrel{(4)}{\propto}~ x^{-2/3}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~x^{1/3} ~\propto~\epsilon^{1/2}.\tag{5}$$ A titre de comparaison, l'action du chemin horizontal est comme prévu plus rapide: $$L~\stackrel{(1)}{=}~\frac{1}{\sqrt{y}}~=~ \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~\frac{x}{\sqrt{\epsilon}} ~\stackrel{(4)}{\propto}~\epsilon.\tag{6}$$ Cela montre que nous pouvons changer l'action en premier ordre dans $\epsilon$, et par conséquent le chemin n'est pas stationnaire. $\Box$