Apa yang dimaksud dengan menyamakan koefisien dari suku-suku sejenis ketika menyelesaikan A dan B dalam pecahan parsial?

Question

Saya mencoba untuk melangkah sendiri melalui pemecahan pecahan parsial dalam buku tahun 10 oleh Cambridge. Ini adalah konsep yang mereka perkenalkan sejak awal untuk siswa yang ingin menantang diri mereka sendiri dan penjelasannya cukup ringan.

Misalnya: 7 / (x + 2) (2x-3) = A / 2x-3 + B / x + 2. Saya mengerti bagaimana mengerjakan ini sampai titik di mana saya mencapai 7 = x (A + 2B) + 2A − 3B. Dari sana, saya telah membaca bahwa saya perlu melakukan sesuatu yang disebut "koefisien penyamaan. Koefisien yang mendekati suku-suku sejenis harus sama, sehingga diperoleh sistem berikut: A + 2B = 0 2A − 3B = 7.

Tapi saya tidak mengerti MENGAPA atau bagaimana validnya kita menetapkan bagian-bagian persamaan ini ke nilai-nilai ini. Mengapa bukan A + 2B = 7 2A − 3B = 0 misalnya. Saya sudah mencoba melihat YouTube dan bertanya kepada teman-teman, tetapi sepertinya saya tidak bisa memahaminya.

Saya bisa melakukannya dan saya bisa menyelesaikan untuk A dan B menggunakan metode ini. Tapi saya benar-benar berjuang untuk memahami apa yang saya lakukan pada saat itu dalam prosesnya. Ungkapan yang terus bermunculan ketika saya melihat ini adalah "kita bisa menyamakan koefisien dari suku-suku sejenis". Misalnya di halaman wikipedia di Dekomposisi Pecahan dikatakan "Menyamakan koefisien x dan koefisien konstanta (sehubungan dengan x) dari kedua sisi persamaan ini ...". Contoh kedua: dikatakan "Koefisien di dekat suku-suku sejenis harus sama, sehingga diperoleh sistem berikut:" pada halaman emathhelp ketika saya memasukkan persamaan 7 / (x + 2) (2x-3).

Answer 1

Saya pikir Anda sedikit bingung tentang langkah-langkah dalam masalah ini. Perhatikan bahwa, setelah Anda mengalikan kedua sisi dengan penyebut, Anda harus mencoba menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, dalam kasus ini$$7 = x(A+2B) + 2A - 3B.$$ Seperti istilah yang koefisien kekuasaan identik$x$. Perhatikan itu$7 = 0x + 7$. Bisakah Anda melihat kesamaannya sekarang? Seandainya$(A+2B)$menjadi apa pun kecuali $0$, Anda akan mendapatkan angka bukan nol $ax$istilah di sisi kiri persamaan di atas. Logika yang sama berlaku untuk$(2A-3B)$.

Jadi Anda benar-benar berakhir dengan $$A+2B = 0 \\ 2A - 3B = 7$$ yang, jika diselesaikan secara bersamaan, memberi $A= 2$, $B = -1$.

Answer 2

Asumsikan Anda bekerja dengan

$$ax+b=3x+2.$$

Maksud kami ini berlaku untuk semua orang $x$. Jadi secara khusus, kami bisa menulis

$$x=0\to b=2,\\x=1\to a+b=5,\\ x=-1\to -a+b=-1,\\ x=2\to 2a+b=8,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x=5000\to 5000a+b=1502,\\\cdots$$

Ini adalah sistem dari dua yang tidak diketahui dan banyak persamaan yang tak terhingga. Tetapi ternyata jika Anda menyelesaikan sejumlah persamaan minimum (dengan dua persamaan pertama,$a=3, b=2$), solusinya valid untuk semua persamaan, karena ekspresi simbolisnya setara penuh.

Hal yang sama berlaku untuk pecahan rasional atau jenis identifikasi apa pun.