Apakah fungsi jarak memisahkan ukuran probabilitas?
Membiarkan $(\Omega,d)$ menjadi ruang metrik yang kompak dan $\mathcal P(\Omega)$ruang pengukuran probabilitas Borel. Membiarkan$D=\{ d_p\mid p\in\Omega\}$ dimana $d_p(x)=d(p,x)$menjadi himpunan dari semua "fungsi jarak". Seperti biasa, kita bisa memikirkannya$D$ bertindak $\mathcal P(\Omega)$ (atau sebaliknya) melalui integrasi yaitu $\langle d_p,\mu\rangle = \int_\Omega d_p(x)\,\mathrm d\mu(x)$.
Judul Pertanyaan
Apakah $D$ bertindak $\mathcal P(\Omega)$ melalui titik integrasi yang terpisah?
Atau dengan kata lain,
Jika $\mu,\nu \in \mathcal P(\Omega)$ dan $\langle d_p,\mu\rangle = \langle d_p,\nu\rangle$ untuk semua $p\in \Omega$, lalu harus $\mu=\nu$?
Formulasi Alternatif
Ada beberapa cara lain untuk membingkai pertanyaan juga.
Formulasi Probabilistik
Menulis ulang semua integral sebagai harapan pertanyaannya,
Jika $\mathbb E_{X\sim\mu}[d_p(X)] = \mathbb E_{Y\sim\nu}[d_p(Y)]$ untuk semua $p\in \Omega$, lalu harus $\mu=\nu$?
Dengan kata lain, apakah mengetahui jarak yang diharapkan ke suatu titik untuk semua titik menentukan ukurannya?
Formulasi Geometris
Ingatlah bahwa jarak 1-Wasserstein diberikan oleh $W_1(\mu,\nu) = \inf_{\gamma\in\Gamma(\mu,\nu)} \int_{\Omega\times\Omega} d(x,y) \,\mathrm d\gamma(x,y)$ dimana $\Gamma(\mu,\nu)$ adalah himpunan kopling antara $\mu$ dan $\nu$ yaitu pengukuran probabilitas Borel $\Omega\times\Omega$ dengan marjin $\mu$ dan $\nu$masing-masing. Sejak ukuran produk$\delta_p\otimes\mu$ adalah kopling unik antara ukuran delta Dirac $\delta_p$ dan $\mu$, kami punya itu
$$W_1(\delta_p,\mu)=\int_{\Omega\times\Omega} d(x,y)\,\mathrm d(\delta_p\otimes\mu)(x,y)=\int_\Omega d(p,y)\,\mathrm d\mu(y)=\langle d_p,\mu\rangle$$
Sekarang pertanyaannya dapat dinyatakan secara geometris sebagai
Jika $W_1(\delta_p,\mu)=W_1(\delta_p,\nu)$ untuk semua $p\in \Omega$, lalu harus $\mu=\nu$?
Dengan kata lain, apakah mengetahui $W_1$ jarak ke titik ekstrim $\mathcal P(\Omega)$ benar-benar menentukan ukuran probabilitas?
Forumlation Transformasi Integral
Tentukan jarak transformasi dari$\mu\in\mathcal P(\Omega)$ sebagai fungsinya $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$ diberikan oleh $\phi_\mu(p) = \int_\Omega d(p,x)\,\mathrm d\mu(x)$. Pertanyaannya sekarang dapat dinyatakan kembali sebagai,
Apakah jarak transform injektif aktif $\mathcal P(\Omega)$?
Apalagi dengan formulasi geometris yang kita miliki $\phi_\mu(p) = W_1(\delta_p,\mu)$. Kami akan menggunakan yang lemah-$*$ topologi untuk $\mathcal P(\Omega)$ (yang bertepatan dengan $W_1$topologi). Sejak peta$p\mapsto \delta_p$ adalah embedding dari $\Omega$ ke $\mathcal P(\Omega)$, itu mengikuti itu $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$terus menerus. Nyatakan jarak yang ditransformasikan$\Phi(\mu)=\phi_\mu$. Sejak$\mathcal P(\Omega)$ adalah Hausdorff dan $C(\Omega)$ adalah Hausdorff kita dapat menyatakan kembali pertanyaannya sebagai
Jika $\Phi:\mathcal P(\Omega)\to C(\Omega)$ berkelanjutan, apakah itu embedding?
Pikiran Akhir
Apakah salah satu pernyataan setara ini benar? Sayangnya saya hanya mampu merumuskan kembali pertanyaan dan belum mengidentifikasi bukti yang jelas, meskipun saya tidak akan terkejut jika ada yang mudah saya abaikan. Rumusan geometris masalah membuat saya percaya itu$D$ memang memisahkan poin $\mathcal P(\Omega)$. Namun, jika jawabannya setuju maka saya merasakan sifat bagus yang dihasilkan$\Phi$akan membuatnya menjadi sesuatu yang mudah dicari. Setiap wawasan akan dihargai.
Pembaruan: Mengingat contoh balasan 4 poin yang elegan dari George Lowther dan jawaban afirmatif dari Pietro Majer untuk$\Omega=[0,1]$, akan menarik untuk lebih memahami faktor-faktor apa yang menentukan apakah ruang metrik yang mendasari menghasilkan jawaban afirmatif.
Contoh balasan George dapat diperluas ke contoh balasan di mana $\Omega$adalah bola (dengan metrik intrinsik). Jadi, membutuhkan$\Omega$Menjadi berdimensi positif, bermacam-macam, terhubung, terhubung dengan jalur, terhubung dengan mudah, dll, tidak akan membuat masalah hilang. Di sisi lain, Pietro menduga jawabannya lagi-lagi tegas dalam kasus kapan$\Omega$ adalah bagian cembung kompak dari ruang Euclidean.
Jawaban
Tidak. Misalkan $\Omega$ terdiri dari empat titik yang disusun dalam sebuah bujur sangkar, dimana titik-titik yang berdekatan memiliki jarak 1 diantara mereka dan titik-titik yang berlawanan memiliki jarak 2. Secara spesifik, jika titik-titik tersebut diberi label A, B, C, D maka \begin{align} & d(A,C)=d(B,D)=2,\\ & d(A,B)=d(B,C)=d(C,D)=d(D,A)=1. \end{align} Misalnya, A, B, C, D dapat memiliki spasi yang sama di sekitar lingkaran, menggunakan metrik lingkaran internal.
Tepat ada dua ukuran probabilitas yang menetapkan probabilitas 1/2 ke masing-masing dua titik yang berlawanan dan probabilitas nol ke dua titik yang tersisa. \begin{align} & \mu(\{A\})=\mu(\{C\}) = 1/2,\ \mu(\{B,D\})=0,\\ & \nu(\{B\})=\nu(\{D\})=1/2,\ \nu(\{A,C\})=0. \end{align}Anda dapat memeriksa bahwa kedua ukuran ini memberikan integral yang sama untuk semua ` fungsi jarak '. Jarak rata-rata dari setiap titik sama dengan 1 di bawah keduanya.
Sisi positifnya, jawabannya adalah ya $\Omega$ adalah interval satuan $[0,1]$dengan jarak standarnya. Pada kasus ini$\phi_\mu$ adalah cembung $1$Fungsi -Lipschitz (sebenarnya, itu juga didefinisikan untuk semua $p\in\mathbb{R}$, dengan $\phi'(p)=\mathrm{sgn} p$ untuk $p\notin[0,1]$), dengan turunan kiri dan kanan $$\phi_-'(p)=\mu[0,p)-\mu[p,1]= 2\mu[0,p)-1$$ $$\phi_+'(p)=\mu[0,p] -\mu (p,1]= 2\mu[0,p] -1=1-2\mu(p,1]$$ maka $\mu$ ditentukan pada semua interval, karenanya pada semua subset Borel.
Sebaliknya, perhatikan bahwa ada fungsi cembung $\phi$seperti di atas
dapat ditulis dalam bentuk$\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ untuk beberapa ukuran probabilitas Borel $m$ di $[0,1]$. Ini karena$g:= \frac{1}{2}\big(1-\phi_+'\big) $ adalah fungsi cadlag berbatas nonnegatif, jadi ada fungsi probabilitas Borel $m$ seperti yang $g(p)=m(p,1]$, darimana $\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ mengikuti dengan mudah dari hubungan di atas.
Saya kira jawabannya juga setuju $\Omega$ satu set kompak cembung $\mathbb{R}^n$ dengan jarak Euclidean.