Apakah konveksitas ketat ditambah afinitas asimtotik menyiratkan arti terbatas?

Aug 17 2020

Saya tidak yakin apakah ini tepat pada tingkat penelitian, tetapi saya berjuang untuk menemukan bukti untuk klaim berikut:

Membiarkan $F:[0,\infty) \to [0,\infty)$ menjadi a $C^2$ fungsi cembung ketat.

Membiarkan $\lambda_n \in [0,1],a_n\le c_0<b_n \in [0,\infty)$ memuaskan $$ \lambda_n a_n +(1-\lambda_n)b_n=c_n $$ dan anggaplah itu $c_n \to c>c_0$.

Set $D_n=\lambda_nF(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)-F\big(c_n\big) $, dan anggaplah begitu $\lim_{n \to \infty}D_n=0$

Pertanyaan: Harus$b_n$ dibatasi?


Saya memiliki bukti yang cukup sederhana (yang saya sajikan di bawah) untuk kasus khusus di mana $a_n=a,c_n=c$ adalah urutan yang konstan, tetapi saya mengalami kesulitan untuk menggeneralisasikannya.

Bukti untuk kasus yang disederhanakan:

Kita punya $ \lambda_n a +(1-\lambda_n)b_n=c$.

Diberikan $x \ge r$, biarkan $\lambda(x) \in [0,1]$ jadilah nomor unik yang memuaskan $$ \lambda(x) a +(1-\lambda(x))x=c. $$ Kita punya $\lambda(b_n)=\lambda_n$. Menetapkan$$g(x) = \lambda(x) F(a) + (1-\lambda(x))F(x).$$

Cembung ketat $F$ menyiratkan itu $g$ adalah fungsi yang semakin meningkat dari $x$.

Asumsi $D_n \to 0$ setara dengan $g(b_n) \to F(c)$. Sejak$g(b_n) \ge F(c)$ (dengan konveksitas) dan $g$ meningkat tajam, kami menyimpulkan itu $b_n$ harus dibatasi.

Jawaban

6 FedorPetrov Aug 17 2020 at 15:11

Iya, $b_n$harus dibatasi. Asumsikan sebaliknya. Meneruskan ke selanjutnya kita mungkin mengira itu$a_n\to a$, $b_n\to \infty$. Kita punya$$\lambda_n=\frac{b_n-c_n}{b_n-a_n}\to 1;\, 1-\lambda_n=\frac{c_n-a_n}{b_n-a_n}\sim (c-a)b_n^{-1},$$ dan menggunakan $F(b_n)\geqslant F(c_n)+(b_n-c_n)F'(c_n)$ kita mendapatkan $$ D_n+F(c_n)=\lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)\geqslant \lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(c_n)+(1-\lambda_n)(b_n-c_n)F'(c_n)\\ \to F(a)+(c-a)F'(c)>F(c), $$ jadi $\liminf D_n>0$.