Bagaimana memahami secara intuitif $n$kubus -dimensi seiring bertambahnya dimensi [duplikat]

Dec 20 2020

Jadi saya membaca * bahwa untuk tubuh cembung, yaitu kubus$[-1,1]^n$ di $\mathbb{R}^n$, bola terkecil yang memuatnya memiliki jari-jari$\sqrt{n}$, sedangkan bola terbesar di dalam kubus memiliki jari-jari$1$.

Juga,

"... seiring dengan bertambahnya dimensi, kubus semakin menyerupai bola."

Bagaimana cara memvisualisasikan hal-hal ini kapan $n\geq 4$? Saya tidak bisa melihatnya!

Akan sangat bagus jika saya bisa mendapatkan bantuan dengan intuisi yang terlibat di sini. Terima kasih!

* Lihat halaman 2 dari

Keith Ball, "Pengantar dasar untuk geometri cembung modern" dalam Flavours of Geometry , Silvio Levy ed., Cambridge 1997.

Sunting: Meskipun jawaban yang disarankan sangat bagus, saya tidak berpikir mereka membahas struktur geometris tertentu yang saya perhatikan dalam pertanyaan saya.

Jawaban

2 PrudiiArca Dec 20 2020 at 16:15

Apa yang membuat Anda berpikir bahwa kita dapat memvisualisasikan kubus dan bola yang lebih tinggi? Untuk$n=4$ Anda dapat memainkan permainan seperti menggunakan semacam penggeser waktu untuk menggambar perpotongan objek Anda dengan $xyz$- pesawat terbang, tapi untuk $n>4$ peretasan semacam itu akan menjadi tidak tersedia dengan sangat cepat.

The intuisi di belakang fakta-fakta seperti yang Anda kutip, tidak intuisi tetapi perhitungan . Dalam beberapa hal, matematika dibangun di sekitar intuisi kita untuk ruang 2, 3 atau bahkan mungkin 4 dimensi, yang saya maksudkan bahwa sebagian besar definisi meniru sesuatu di dunia berdimensi rendah ini. Namun definisi jauh lebih umum dalam hal dimensi tidak penting, jadi kita mungkin juga mencoba mencari tahu apa yang mereka lakukan dalam dimensi yang lebih tinggi (memikirkan lipatan). Sangat disayangkan bahwa kita tidak dapat melihat apa yang terjadi di sana, karena cukup banyak hal yang mulai rusak. Manifold menjadi tidak mulus atau memiliki beberapa struktur halus yang berbeda, hasil klasifikasi tidak mungkin diperoleh dan bola menjadi runcing dan secara komputasi mulai terlihat dan berperilaku agak asing. Untuk menyatakan satu contoh: Poincare -kira-kira adalah salah satu masalah milenium (yaitu berada pada tingkat kesulitan yang sama dengan hipotesis Riemann atau$P$ vs. $NP$) dan tentang $3$-sphere. Geometri yang lebih tinggi itu sulit .

Di sisi lain, ini adalah kesenangan tentang matematika abstrak. Definisi intuitif yang diturunkan dari sekumpulan kecil contoh segera ternyata memiliki contoh yang lebih eksotis tetapi menarik, yang membuat definisi tersebut semakin menarik dan layak untuk dipelajari.