Benarkah itu $ \lim_{x\to0}\frac{f'\left(x\right)-\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}}{x}=\frac{f''\left(0\right)}{2} $ [duplikat]
Membiarkan $ f $ menjadi fungsi seperti itu $ f'' $ ada di $ x=0 $.
Apakah benar:
$$ \lim_{x\to0}\frac{f'\left(x\right)-\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}}{x}=\frac{f''\left(0\right)}{2} ~~?$$
Saya cukup yakin bahwa agar ini benar, $ f'' $harus terus menerus, yang tidak diberikan. Tapi saya berjuang untuk menemukan contoh yang berlawanan. Saya perlu menemukan fungsi yang dapat dibedakan dua kali, tetapi$ f'' $ tidak berkelanjutan (dengan asumsi saya memahami situasinya).
Saya menghargai bantuan. Terima kasih sebelumnya.
Jawaban
Anda dapat menggunakan ekspansi Taylor: $$ f(x)=f(0)+xf'(0)+x^2f''(0)/2+x^2\sigma(x) $$ dimana $\lim_{x\to0}\sigma(x)=0$. Kemudian\begin{align} \frac{1}{x}\Bigl(f'(x)-\frac{f(x)-f(0)}{x}\Bigr) &= \frac{1}{x^2}\Bigl(xf'(x)-xf'(0)-x^2f''(0)/2-x^2\sigma(x)\Bigr)\\[6px] &=-\frac{f''(0)}{2}-\sigma(x)+\frac{f'(x)-f'(0)}{x} \end{align}Kontinuitas dari turunan kedua tidak diperlukan; satu hanya perlu turunan (pertama) ada di lingkungan$0$ dan dapat dibedakan di $0$.
Sejak
$${f'(x)-{f(x)-f(0)\over x}\over x}={f'(x)-f'(0)\over x}-{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}$$
dan
$$\lim_{x\to0}{f'(x)-f'(0)\over x}=f''(0)$$
itu sudah cukup untuk menunjukkan itu
$$\lim_{x\to0}{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}={f''0)\over2}$$
Ini dapat dilakukan dengan satu aplikasi L'Hopital:
$$\lim_{x\to0}{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}=\lim_{x\to0}{f'(x)-f'(0)\over2x}={f''0)\over2}$$
(Langkah terakhir bukanlah putaran lain dari L'Hopital, ini adalah definisi dari turunan kedua. Satu-satunya syarat yang disyaratkan L'Hopital di sini adalah bahwa turunan pertama didefinisikan di lingkungan $0$, yang harus dipenuhi agar $f''(0)$ untuk eksis.)