Bukti bahwa jika perbedaan suku dari dua barisan konvergen adalah nol, maka batas barisan tersebut sama

Aug 16 2020

Propositon: Mengingat urutan sebenarnya $\{a_n\}$ dan $\{b_n\}$ konvergen, dan itu $\{a_n - b_n \}$ adalah urutan nol, lalu $\lim_{n \to\infty} a_n = \lim_{n \to\infty} b_n$

Ini adalah usaha saya:

Menunjukkan $\lim_{n \to\infty} a_n = l$ dan $\lim_{n \to\infty} b_n = m$. Seharusnya$m \neq n$. Seharusnya$\epsilon = \frac{l-m}{2}$. Dengan konvergensi$\{a_n\}$ dan $\{b_n\}$, dan menggunakan nilai epsilon yang ditentukan, untuk cukup besar $n$ kita punya itu $\frac{l+m}{2} < a_n < \frac{3l-m}{2}$, dan $\frac{3m-l}{2} < b_n < \frac{m+l}{2}$. Dari sini kita punya

$$0<a_n - b_n < 4\bigg(\frac{l-m}{2}\bigg)$$ $$\rightarrow 0 < a_n - b_n < 4\epsilon$$

Tetapi dengan kepadatan $\mathbb{R}$, ada beberapa $r \in \mathbb{R}$ seperti yang $a_n - b_n > r$ untuk ukuran yang cukup besar $n$. Tapi ini bertentangan dengan fakta itu$\{a_n - b_n\}$ adalah urutan nol, karenanya $l=m$ $$\tag*{$\ blacksquare$}$$

Saya tertarik untuk melihat apakah ada bukti (dan mudah-mudahan juga verifikasi bahwa milik saya benar!) Yang tidak bergantung pada deduksi kontradiksi dari asumsi $l \neq m$. Ini membuat frustasi tampak seperti salah satu pernyataan 'jelas' yang ketika saya menulis dalam logika urutan pertama saya berjuang untuk membuktikannya. Secara khusus saya tidak dapat menemukan cara untuk melakukannya secara langsung.

Jawaban

2 BrianM.Scott Aug 16 2020 at 02:41

Bukti dengan kontradiksi benar-benar merupakan pendekatan paling alami di sini. Intuisi sederhana: jika urutan memiliki batas yang berbeda, akhirnya harus dekat dengan batas tersebut dan karena itu tidak dapat berdekatan satu sama lain.

Ini bisa dilakukan sedikit lebih mudah. Membiarkan$\epsilon=\frac13|\ell-m|$. Ada$n_0\in\Bbb N$ seperti yang $|a_n-\ell|<\epsilon$ dan $|b_n-m|<\epsilon$ kapanpun $n\ge n_0$. Tapi kemudian

$$|\ell-m|\le|\ell-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-m|<|a_n-b_n|+2\epsilon\,,$$

untuk semua $n\ge n_0$, jadi

$$|a_n-b_n|>|\ell-m|-2\epsilon=\epsilon$$

untuk semua $n\ge n_0$, bertentangan dengan asumsi itu $\langle a_n-b_n:n\in\Bbb N\rangle$ adalah urutan nol.

Argumen Anda memang memiliki beberapa masalah. Pertama, Anda tampaknya berasumsi demikian$\ell>m$; tidak ada kerugian nyata yang umum jika Anda membuat asumsi ini, tetapi Anda setidaknya perlu mengatakan bahwa Anda membuatnya. Anda juga tampaknya berasumsi di akhir itu$a_n-b_n$positif, yang seharusnya tidak demikian. Akhirnya, dan yang paling penting, Anda belum benar-benar memberikan pembenaran apa pun untuk pernyataan bahwa pernyataan itu nyata$r$ seperti yang $a_n-b_n>r$ untuk ukuran yang cukup besar $n$: ini sebenarnya benar untuk $|a_n-b_n|$ dan beberapa positif $r$, tetapi ini tidak ada hubungannya dengan kepadatan $\Bbb R$.