Bukti bahwa kita dapat menemukan bilangan rasional yang mendekati $\sqrt{2}$: pendekatan langsung. [duplikat]

Question

Pernyataan proposisi:

Proposisi . Untuk setiap bilangan rasional$\epsilon > 0$, ada bilangan rasional non-negatif $x$ seperti yang $x^{2} < 2 < (x+\epsilon)^2$.

Pendekatan paling umum untuk membuktikan proposisi adalah dengan menggunakan kontradiksi ( 1 , 2 ).

Pertanyaan saya adalah: apakah mungkin untuk membuktikan proposisi secara langsung? Lebih konkretnya, mungkinkah menemukan suatu fungsi$f: \mathbb Q^+\rightarrow \mathbb Q^+$ sedemikian rupa sehingga untuk rasional positif yang sewenang-wenang $\epsilon$, kita punya

$$f(\epsilon)^2 < 2 < (f(\epsilon) + \epsilon)^2 $$

?

Answer 1

Menetapkan $f(\varepsilon)$ menjadi pemotongan $\sqrt{2}$ untuk $n$ tempat desimal, di mana $10^{-n} \leq \varepsilon$ adalah pangkat terdekat dari $10$ dari bawah.

Ini memastikan itu $$f(\varepsilon) < \sqrt{2} < f(\varepsilon) + 10^{-n} \leq f(\varepsilon) + \varepsilon$$

Sebagai ilustrasi, jika $\varepsilon=0.2$ kemudian $n=1$ dan ketimpangan berbunyi $$1.4 < \sqrt{2} < 1.5 \leq 1.6$$

Answer 2

Mengambil $$\epsilon\left\lfloor\frac{\sqrt2}\epsilon\right\rfloor.$$ Rasional ini kurang dari $\epsilon$ jauh dari $\sqrt2$.

Answer 3

Menggunakan fakta bahwa di antara dua bilangan real ada bilangan rasional, mengingat rasional apa pun$\varepsilon$ seperti yang $4\sqrt{2}>\varepsilon>0, \exists x \in \mathbb{Q}$ seperti yang $x \in (\sqrt{2} - \frac{\varepsilon}{2}, \sqrt{2})$, yang memberikan: $x^2 < 2$ dan $(x+\varepsilon)^2 > 2.$